jussilindgren.fi

Kategoria: investing

  • Blackjack, vedonlyönti ja sijoitussalkun optimointi informaatioteorian avulla

    Blackjack, vedonlyönti ja sijoitussalkun optimointi informaatioteorian avulla

    Amerikkalainen Edward Thorp (1932-) on mielenkiintoinen hahmo. Hedgerahastosijoittaja, uhkapeluri, matemaatikko (PhD UCLA), professori. Thorp ilmeisesti keksi optiohinnoittelukaavan, eli Black-Scholes -mallin jo 1967, mutta käytti sitä itse, ja ei julkaissut sitä. Thorp ja informaatioteorian isä Claude Shannon (1916-2001) kehittivät Las Vegasin kasinoilla 1960-luvulla tavan voittaa talo kortteja laskemalla ja niin sanottua Kellyn kriteeriä soveltamalla. Bell -laboratoriossa työskennellyt fyysikko John Kelly (1923-1965) kehitti tämän mielenkiintoisen informaatioteoreettisen mallin vedonlyönnille vuonna 1956. Thorp taas ymmärsi, että pelkän matemaattisen edun (korttien laskemisen) löytäminen ei riitä, vaan pelaajan täytyy panostaa juuri oikeassa suhteessa pelikassaansa nähden, välttääkseen konkurssin, ja maksimoidakseen varallisuuden pitkän aikavälin kasvun. Näiden ideoiden perusteella kaikki herrat vaurastuivat satumaisesti. Las Vegas oli vielä 1960-luvulla mafian hallinnassa, ja erilaiset kikat pelipöydässä yleisiä. Frank Sinatra ja Elvis esiintyivät kasinoilla, ja viina virtasi. Hauskaa varmasti oli. Kasinot yrittivät estää Thorpin pelaamisen uhkailemalla, muuttamalla sääntöjä kesken pelin ja lopulta porttikielloilla. Tämän jälkeen Thorp käänsi katseensa maailman suurimmalle kasinolle: Wall Streetille.

    Voimme ajatella Kellyn mallia kuitenkin intuitiivisemmin normaalin vedonlyönnin kautta, esimerkiksi nyrkkeilymatsin avulla. Kuvitellaan loputon määrä nyrkkeilymatseja, ja näille vetoja tarjoavat markkinat. Vedonlyöjämarkkina (bookmaker) tarjoaa kertoimia, ja voit veikata jomman kumman nyrkkeilijän voittoa. Kysymys on siis siitä, että meillä on vedonlyöjä, jolle tarjotaan vetoja voittokertoimella b. Voittokerroin tarkoittaa, että jos panostat euron, ja voittokerroin on 2, voitat nettona euron.

    Nyt voimme siirtyä vedonlyöntitilanteen matemaattiseen tai informaatioteoreettiseen analyysiin. Meillä on kohinallinen (binäärinen) tiedonsiirtokanava, jossa signaali on oikea todennäköisyydellä p (sisäpiirin tieto vedosta on oikeaa) ja väärä
    todennäköisyydellä q=1-p (sisäpiirin tieto on väärää). Nyt vedonlyöjällä on jokin alkupääoma X_0, ja hänen ongelmana on päättää, kuinka ison panoksen asettaa (f, osuus kulloisestakin pääomasta), kun vetoja on saatavilla määrätyllä kertoimella.

    Pääoma kasvaa kaavalla:

    XN=X0(1+bf)W(1−f)LX_N=X_0(1+bf)^W(1-f)^L

    Jossa W on voittojen lukumäärä ja L on häviöjen lukumäärä. Voimme nyt ottaa logaritmin ja kirjoittaa:

    1Nlog⁡XNX0=WNlog⁡(1+bf)+LNlog⁡(1−f)\frac{1}{N}\log{\frac{X_N}{X_0}}=\frac{W}{N}\log{(1+bf)}+\frac{L}{N}\log{(1-f)}

    Suurten lukujen lain nojalla saamme:

    WN→p\frac{W}{N}\rightarrow p

    Sekä

    LN→q\frac{L}{N}\rightarrow q

    Eli:

    1Nlog⁡XNX0=plog⁡(1+bf)+qlog⁡(1−f)\frac{1}{N}\log{\frac{X_N}{X_0}}=p\log{(1+bf)}+q\log{(1-f)}

    Vasemmalla puolella on varallisuuden logaritminen kasvuvauhti. Maksimoidaan tämä valitsemalla f optimaalisesti f. Saadaan:

    f∗=pb−qb=PelaajanEtuVoittokerroinf^{*}=\frac{pb-q}{b}=\frac{PelaajanEtu}{Voittokerroin}

    Eli optimaalinen panostus riippuu voittokertoimesta ja sisäpiiritiedon laadusta. Jos sisäpiiritiedon laatu on puhdasta kohinaa, ja voittokerroin on 1 saadaan f^*=0. Eli tasakertoimilla noppaa ei kannata heittää loputtomasti.

    Vedonlyöntikaavassa on yksinkertaisesti kyse siitä, että jos arvioimasi todennäköisyys voitolle p on suurempi kuin kertoimien antama todennäköisyys, kannattaa satsata osa omaisuudesta. Eli kun

    p>qb.p> \frac{q}{b}.

    Kun lyöt vetoa vain osan pääomastasi, et joudu ikinä konkurssiin. Vedonlyönnissä on tietysti minimipanoksia, ja p voi olla vaikeaa arvioida oikein. Shannonin informaatioteoria liittää markkinat ja vedonlyönnin luontevasti entropiaan, yhteisinformaatioon ja Shannonin kanavakoodauslauseeseen. Jos haluamme, voimme
    tulkita kohinaisen kanavan vedonlyöntimarkkinaksi, pääoman kertyneeksi dataksi, ja vedonlyöntistrategian koodaukseksi.
    Pääoman kasvuvauhti vastaa jossain mielessä vedonlyöjän ja markkinan yhteisinformaatiota, Shannonin informaatiokanavan ristientropiaa. Jos on täydellinen sisäpiiritieto, entropia on minimissä, jos taas sisäpiiritieto on arvausta, kanavan entropia on maksimissa. Tehokkailla markkinoilla siis entropia maksimoituu, ja
    arbitraasikeinottelijat luovat entropiaa markkinoille.

    Matemaattisesti Kellyn kriteeri vastaa odotusarvoisen logaritmisen varallisuuden maksimointia. Sen tulkinta on mielenkiintoinen sijoitussalkun optimoinnin valossa. Kun tavallisessa Markowitz-optimoinnissa voimme ajatella optimointitehtävän salkun tuoton keskiarvon kiinnityksellä salkun varianssin minimointina, Kellyn kriteeri yleistää tämän. Logaritmin Taylor-kehitelmä antaa ei-normaalisille tuotoille korkeampia kriteerejä kuin kakkosmomentti (varianssi), tällöin pitäisi optimoida myös jakauman vinoutta sekä ainakin huipukkuutta. Taloustieteellisesti kyse on odotetun hyödyn teoriasta, kun sijoittajan hyötyfunktio on täsmälleen logaritminen. Tulokset voidaan yleistää CRRA-hyötyfunktioille. Normaali sijoitussalkun tuoton optimointi perustuu oletukselle neliöllisestä hyötyfunktiosta. Bernoulli mietti aikanaan asiaa geometrisen keskiarvon kautta jo 1700-luvulla. Kellyn kriteeri maksimoin myös sen.

  • Problems with the Black-Scholes model (pricing of financial derivatives)

    Problems with the Black-Scholes model (pricing of financial derivatives)

    The field of finance was revolutionized in 1973, allegedly, when Fischer Black and Myron Scholes came up with the Black-Scholes partial differential equation to price call options. A call option is a right, but not obligation to buy a share with some pre-agreed price and time. The original article considers a hedging approach, where a long position in the stock and short position in the option is created to replicate allegedly a risk-free financial product. Using the basic results of stochastic calculus, matching coefficients, then one can show that the Black-Scholes PDE is the following:

    $$\frac{\partial C}{\partial t}+rS\frac{\partial C}{\partial S}+\frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial C^2}{\partial S^2}-rC=0$$

    Where C(S,t) is the value of the option, r is the risk-free rate, sigma is volatility and S is the value of the underlying. The boundary condition reflects the provisions of the derivative agreement, i.e the value of the derivative at terminal time T. Fundamentally, in the various derivations, the hedging portfolio is the following:

    $$P=S-xC$$

    Where x is the amount held short of the the option in the portfolio. The pair (1,x) is called a trading strategy. In the Black-Scholes model, it is assumed that this strategy is self-financing, so that

    $$dP=dS-xdC$$

    This assumption treats the trading strategy essentially as constant. This assumption makes it easy to match the coefficients, when one demands that the replicating portfolio above yields the risk-free rate.

    Now we can proceed, assuming that the underlying stock follows geometric Brownian motion with some drift and volatility, we have

    $$dS_t=\mu S_tdt+\sigma S_tdW_t$$

    and on the other hand, the expansion for the call option is using Ito’s lemma:

    $$dC=\left(\frac{\partial C}{\partial t}+\mu S\frac{\partial C}{\partial S}+\frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial ^C}{\partial S^2}\right)dt +\sigma S \frac{\partial C}{\partial S}dW$$

    For the replicating portfolio, we get:

    $$dP=\left( \mu S_tdt+\sigma S_tdW_t \right)-x\left(\left(\frac{\partial C}{\partial t}+\mu S\frac{\partial C}{\partial S}+\frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial ^C}{\partial S^2}\right)dt +\sigma S \frac{\partial C}{\partial S}dW\right)=rBdt$$

    The rBdt term on the right side of the equation is no-arbitrage condition: the replicating portfolio must yield the risk free rate r of a bond B. The procedure then finds a value for the call option such that the portfolio is instantly risk-free.

    This only however works if we were to choose x in such a way that:

    $$\sigma S-x\sigma S \frac{\partial C}{\partial S}=0$$

    The Wiener process disappears. Then

    $$x=\frac{1}{\frac{\partial C}{\partial S}}$$

    Substituting this into the equation above, one obtains the Black-Scholes PDE.

    But this contradicts the assumption of a self-financing portfolio, as it was assumed that the delta of the option is effectively a constant. This is not the case, unless we restrict to linearity in S.

    The self-financing assumption has been criticized for example in:

    https://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=4461094

    https://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=4942398

    The authors claim indeed that the Black-Scholes model is inherently wrong and leads to inconsistencies. Self-financing seems to be self-contradictory with the Black-Scholes pricing. If you assume self-financing, you cannot get rid of the Wiener process. The Black-Scholes model gives a fair value for the option such, which indicates that the market is risk-neutral as a whole. You can check this by considering the process

    $$dS=rSdt+\sigma S dW$$

    and then evaluate the expectation

    $$C=E\left( e^{-r(T-t)}C(S_T)\right)$$

    Using Feynman-Kac, the expectation obeys the Black-Scholes PDE.

    Alternative

    What if we start from scratch? Assuming that the investor in a derivative security is risk averse, the general price can be understood by some discounted payoff of the derivative. Then we should have

    $$C(S_t, t)=E_t^P\left(e^{-k(T-t)}C(S_T)\right)$$

    So that the fair value for the derivative contract is just the expectation using the physical probability measure P. Of course we do not know what is the proper discount rate k. It seems that we should have at least k>r.

    In risk neutral pricing, one constructs an artificial measure, and discounts using risk-free rate and calculates the expectation using this risk-adjusted measure. This is in principle possible. The question then is, how to construct the risk-neutral measure.

    Suppose that the discount rate is just the drift or the instantaneous return of the asset, then we have

    $$C(S_t, t)=E_t^P\left(e^{-\mu(T-t)}C(S_T)\right)$$

    This could be a good guess, as this discount rate makes the discounted geometric Brownian motion a martingale. Paul Samuelson once said, that in efficient markets, properly discounted price processes must be martingales (=fair game).

    https://www.jstor.org/stable/3003046

    Using Feynman-Kac directly, we get the modified Black-Scholes PDE:

    $$\frac{\partial C}{\partial t}+\mu S\frac{\partial C}{\partial S}+\frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial C^2}{\partial S^2}-\mu C=0$$

    This agrees with original Black-Scholes, if the investor is risk neutral, ie. all instantaneous returns of assets converge to the risk free rate. What is the correct model? One could basically of course estimate k from real data. I am pretty sure it is higher than the risk free rate.

    See:

    https://www.mdpi.com/2227-9091/11/2/24