jussilindgren.fi

Erikoinen funktio

Written by

admin

in

Matematiikassa on monta erikoista funktiota. Yritin keksiä mahdollisimman patologisen, mutta yksinkertaisen funktion. Sellaisen, joka käyttäytyisi jossain mielessä mahdollisimman sairaasti, mutta olisi funktionaaliselta muodoltaan mahdollisimman yksinkertainen. Pohditaanpa tässä keksimääni seuraavaa funktiota:

$$f(x)=\frac{2\pi}{x}\cos(\frac{2\pi}{x})$$

Eli funktiolla on singulariteetti origossa. Kun x lähenee origoa, cosinin taajuus (taajuus kasvaa, koska 1/x^2 räjähtää origossa nopeasti)kasvaa rajatta, ja värähtelyn amplitudi kasvaa samoin rajatta. Eli aika rajua on meno origossa. Alla kuva funktiosta.

On kiintoisaa tutkia mitä tapahtuu, jos otamme funktiosta Mellin-muunnoksen. Mellin-muunnos funktiolle määritellään

$$\mathcal{M}(f)(s)=\int_{0}^{\infty}x^{s-1}\frac{2\pi}{x}\cos(\frac{2\pi}{x})dx$$

Saamme (pitkä integrointitehtävä, mutta menee sijoittamalla):

$$\mathcal{M}(f)(s)=\int_{0}^{\infty}x^{s-1}\frac{2\pi}{x}\cos(\frac{2\pi}{x})dx=(2\pi)^s\sin(\frac{\pi s}{2})\Gamma(1-s)=\pi\frac{\zeta(s)}{\zeta(1-s)}$$

Eli tämän patologisen funktion Mellin-muunnos on lausuttavissa yksinkertaisesti Riemannin zeta-funktion avulla (0<Re(s)<1). Erityisen mielenkiintoista on, että Mellin-muunnos on erityisellä arvolla

$$\mathcal{M}(f)(\frac{1}{2})=\pi\frac{\zeta(\frac{1}{2})}{\zeta(1-\frac{1}{2})}=\pi$$

Eli muunnos antaa arvon pii, kun tarkastellaan sitä kriittisen suoran ja x-akselin leikkauspisteessä. Mellin-muunnos funktiosta on sukulainen Laplacen muunnokselle. Se liittyy Laplace-muunnokseen logaritmisen muunnoksen kautta. Laplace-muunnos on taas Fourier-muunnoksen yleistys, joka kuvaa funktiot taajuustasoon, ajattele vaikka auringon valon hajoamista spektriin, eli sateenkaareksi. Mellin-muunnoksen keksi suomalainen matemaatikko Hjalmar Mellin (1854-1933).

Riemannin zeta-funktio liityy mm. alkulukujen jakautumiseen, ja siksi tällä patologisella funktiolla saattaa olla myös jotakin tekemistä alkulukujen kanssa. On myös kiinnostavaa tarkastella muunnoksen arvoa kriittisellä suoralla, eli kun

$$s=\frac{1}{2}+it$$

Saamme:

$$\mathcal{M}(f)(\frac{1}{2}+it)=\pi\frac{\zeta(\frac{1}{2}+it)}{\zeta(\frac{1}{2}-it)}$$

Aika veikeää. Something’s going on! Huomaa kaunis peilaussymmetria osoittajassa ja nimittäjässä.

Riemannin zeta-funktio lähtee siis perusmuodossaan harmonisen sarjan yleistyksestä, eli

$$\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}$$

Ko. sarja suppenee klassisesti vain, jos s>1, mutta funktion voi jatkaa analyyttisesti koko kompleksitasoon. Matematiikan suurin avoin ongelma liittyy ko. funktion nollakohtiin. Jos voit todistaa, että kaikki ovat kriittisellä suoralla

$$s=\frac{1}{2}+it$$

, saat Clay-instituutilta miljoonan dollarin palkinnon. Kyseessä on erittäin vaikea ongelma, eikä minun aivokapasiteettini siihen riitä ainakaan.

Riemann Hypothesis

Riemannin zeta-funktio esiintyy teoreettisessa fysiikassa ja matematiikassa laajalti. Se liittyy alkulukuihin mm. siten, että Euler keksi lausua zeta-funktion alkulukujen avulla:

$$\zeta(s)=\prod_{p}(1-p^{-s})^{-1}$$

Missä oikealla puolella otetaan siis ääretön tulo kaikkien alkulujen yli. Kovaa settiä.

Kommentit

Vastaa

Sähköpostiosoitettasi ei julkaista. Pakolliset kentät on merkitty *

More posts