Tieteenhistoriassa Tornionjokilaakso on jäänyt tunnetuksi ranskalaisen retkikunnan matkasta 1700-luvun alkupuolella (1736-1737). Tutkimusmatkan tarkoituksena oli osoittaa, että maapallo on litistynyt navoiltaan. Siinä onnistuttiin. Newton oli oikeassa.
Retkikunnan johtajana toimi Pierre Louis Moreau de Maupertuis (1698-1759). Maupertuis oli ranskalainen intellektuelli, monialainen seikkailija ja elostelija. Vuonna 1744 hän esitteli Pariisissa Pienimmän Vaikutuksen Periaatteen, jonka mukaan luonto toimii pienimmän riesan ja vaivan mukaan, yksinkertaisesti. Maupertuis täydensi ajatteluaan vuosina 1745-1746, myös Preussin tiedeakatemiassa. Maupertuis kirjoitti myös evoluutiosta, seksuaalisuudesta ja monesta muusta luonnofilosofisesta kokonaisuudesta.
Isaac Newton (1643-1727) kirjoitti vapaasti lainaten seuraavaan tapaan: ”Jos olen nähnyt pidemmälle, johtuu se siitä, että olen seissyt jättiläisten harteilla.”. Teoreettista fysiikkaa voitaisiin kutsua myös luonnonfilosofiaksi, sillä useimmat valistuksen kauden ja tieteellisen vallankumouksen ajattelijat olivat yht’aikaisesti filosofeja ja fyysikkoja, matemaatikkojakin. Luonnonfilosofian muutos moderniksi teoreettiseksi fysiikaksi oli asteittainen. Varmaankin on kuitenkin niin, että ennen Kopernikusta, Kepleriä ja Galileita ei ollut varsinaista kunnollista fysiikkaa edes olemassa.
Ranskalainen analyyttinen filosofi Rene Descartes (1596-1650) tunnetaan yleisesti tiedon rajoja koskevista ajatuksistaan, mutta Descartes oli myös matemaatikko ja fyysikko. Descartes kehitti liikemäärän käsitteen, ja ennakoi liikemäärän säilymislain. Aristoteles oli kuitenkin jo esittänyt antiikin ajalla, että ”Luonto ei tee mitään turhaan.” Aristoteelisessa metafysiikassa teleologialla oli keskeinen painotus. Teleologinen metafysiikka näkyy eritoten yleisnero G.W. Leibnizin (1646-1716) ajattelussa. Leibnizin paras mahdollinen maailma on teesi siitä, että jos ja kun Jumala on olemassa, täytyy tämän maailman olla paras mahdollinen maailma. Vaikka näemme pahuutta ja kärsimystä, voi olla niin, että emme pysty näkemään kaikkia kausaliteetteja asioiden välillä, joten emme pysty ymmärtämään, miksi kaikki on tarpeellista kokonaisuuden kannalta. Parhaan mahdollisen maailman pitäisi siis näkyä myös luonnonlaeissa. Leibniz varmastikin myötävaikutti paljon siihen, että myöhemmin fysiikassa on otettu käyttöön nk.vaikutusperiaatteet.
Leibniz tunnetaan toki hänen ajatuksestaan ’parhaasta mahdollisesta maailmasta’, mutta Leibniz kirjoitti myös tarkemmin luonnonperiaatteista esimerkiksi esseessään Tentamen anagogigum (1696): […täydellisyyden periaate ei rajoitu pelkästään yleiseen vaan ulottuu olioiden ja ilmiöiden yksityiskohtiin ja muistuttaa siinä optimaalisten muotojen metodia, eli muotojen, jotka esittävät maksimin tai minimin.] Leibnizin esseessä näkyy selvästi finaalisten syiden arkkitehtoniikka, mikä periytyy varmaankin paljolti aristoteelisesta metafysiikasta. Vuodesta 1695 alkaen Leibniz oli kirjoittanut elävästä voimasta (vis viva), eli suureesta:
Leibnizin mukaan elävä voima säilyy universumissa. Toisaalta samassa esseessään ”Specimen dynamicum” hän esittää myös kuolleen voiman käsitteen (vis mortua). Leibniz ei käsittääkseni vielä päässyt pohdinnoissaan tämän pidemmälle. Elävä voima vastaa klassista kineettistä energiaa, ja kuollut voima vastaa potentiaalienergiaa. Mekaniikka on tanssia elävän ja kuolleen voiman välillä.
Ranskalainen matemaatikko ja fyysikko Emilie du Chatelet (1706-1749) teki mittauksia putoavilla kappaleilla, ja muotoili energian säilymisperiaatteen. Chatelet oli myös intellektuellikirjoittaja Voltairen rakastajar, ja hänellä oli mittavaa kirjeenvaihtoa mm. Leonhard Eulerin (1707-1783) sekä Pierre Louis Moreau de Maupertuis’n (1698-1759) kanssa. Chatelet’n kirjeenvaihto ei ole säilynyt kuin osin, joten emme tiedä tarkkaan, mikä Chatelet’n vaikutus on ollut myöhempään fysiikkaan ja luonnonfilosofiaan. Chatelet käänsi Newtonin Principian ranskaksi, ja spekuloi mm. johdannaisilla. Erittäin edistyksellinen nainen 1700-luvun Euroopassa! Suomalainen säveltäjä Kaija Saariaho (1952-2023) on säveltänyt Chatelet’n innoittamana oopperan Emilie.
Maupertuis ja pienin vaikutus
Ranskalainen Maupertuis esitti siis viimein vuonna 1746 metafyysis-teologisen periaatteensa luonnonlaeista. Tämä pienimmän vaikutuksen periaate sanoi, että luonto toimiessaaan minimoi määrätyn suureen, joka on Maupertuis’n mukaan:
Voltaire riitautui Maupertuis’n kanssa, sillä ilmeisesti he olivat molemmat kiinnostuneita eroottisessa mielessä samasta naisesta, juuri Emilie du Chatelet oli heidän intohimonsa jaettu kohde. Voltaire syytti Maupertuis’n plagioineen pienimmän vaikutuksen periaatteen, ja Samuel König (1712-1757) väitti Maupertuis’n varastaneen idean Leibnizilta. Toki Leibniz oli tukenut mm. Fermat’n ajatuksia valosta ja optiikasta, mutta edelleen Maupertuis on ensimmäinen, joka on todistetusti esittänyt periaatteen selkeässä, matemaattisessa muodossaan. Periaate siis sanoo, että kappale kulkee sellaista polkua, joka minimoi yllä esitetyn integraalin arvon. Matematiikkaa tuntevat näkevät nopeasti, että integraali liittyy Leibnizin elävään voimaan, jos teemme muuttujanvaihdoksen, ja saamme vaikutusintegraalin:
Eli Maupertuis’n Pienimmän vaikutuksen periaate liittyy juuri elävän voiman minimoimiseen. Lagrangen mekaniikassa integraaliin lisätään vielä potentiaalienergia. Potentiaalienergia liittyy matemaattisesti avaruuden metrisiin ominaisuuksiin, ja abstraktimmin teema liittyy polkujen pituuksien minimointiin tai ainakin stationäärisuusehtoihin. Tämä liittyy nähdäkseni taas siihen, että luonto on robusti. Maupertuis’n jälkeen klassisen mekaniikan täydellistivät nerokas sveitsiläinen matemaatikko Leonhard Euler (1707-1783) ja italialainen matemaatikko Joseph-Louis Lagrange (1736-1813). Irlantilainen William Rowan Hamilton (1805-1865) jatkoi mekaniikan kehittelyä, ja esitteli pienimmän vaikutuksen periaatteen Hamiltonin periaatteena.
kuva:Postimuseo
Torniossa tavataan!
Syyskuussa 4-6.9. Torniossa järjestetään juhlavuoden Symposium, Maupertuis 290.
Pienimmän vaikutuksen periaate on tavattoman tärkeä teoreettisessa fysiikassa. Oikeastaan kaikki keskeiset luonnonlait voidaan lausua sen avulla, kun ”vaikutus” valitaan sopivasti, sähkömagnetismi, painovoima, kvanttimekaniikka, optiikka. Vuosi sitten julkaisimme artikkelin, jossa metrisen tensorin vaihteluvaikutusta minimoimalla Weyl -avaruusajassa johdamme sähködynamiikan. Luonto suosii pienintä vaikutusta. Olen puhumassa Torniossa teemasta, ja osallistun paneelikeskusteluun. Tarkoitus on käydä myös retkikunnan jalanjäljissä Pellossa ja Ylitorniossa mittauspaikoilla.
MATEMAATTINEN LIITE
Hamiltonin periaate voidaan lausua muodossa: aseta tämän alla olevan integraalin variaatio nollaksi:
Missä T on kineettinen energia ja V on potentiaalienergia.
Optimaalisuusyhtälö yllä olevan tehtävän ratkaisuna on täsmälleen Newtonin toinen laki, eli
Usein on hyödyllistä pohtia erilaisia ’duaalipareja’, hyvä ja paha, mies ja nainen jne. Fysiikassa erityisen hyödyllinen ’duaali’ on kokonaisenergia. Kutsumme sitä Hamiltoniaaksi keksijänsä mukaan.
William Rowan Hamilton (1805-1865) oli irlantilainen matemaatikko ja fyysikko. Hamiltoniaani, H, on systeemin kokonaisenergia, ja p on kanoninen liikemäärä, q on kanoninen koordinaatti. Kyseessä on näppärä temppu, jolla saamme esitettyä mekaniikan probleeman ’duaaliavaruudessa’. Hamiltoniaani on siis Lagrangiaanin ns. Legendre-duaali. Adrien-Marie Legendre (1752-1833) oli ranskalainen matemaatikko. Teoreettisen fysiikan opiskelijat törmäävät Hamiltonin mekaniikkaan yleensä teoreettisen mekaniikan kurssilla.
Klassisessa mekaniikassa voidaan osoittaa tietyin ehdoin, että kanoninen liikemäärä on:
Missä S on stationäärinen arvo optimoitavalle integraalille, kuten on yllä esitetty. Kolmio tarkoittaa gradienttioperaattoria, eli derivaattaoperaattoria kanonisten koordinaattien suhteen.
Hamiltonin funktio saadaan siis muotoon:
Toisaalta voimme tarkastella Hamiltonin pääfunktion kokonaisaikaderivaattaa, per määritelmä:
Koska pääfunktion kokonaisaikaderivaatta on systeemin Lagrangiaani, ja toisaalta sijoittamalla pääfunktion gradientin sisältämän termin yllä, saadaan ensin:
Eli:
Tästä saadaan heti:
Tämä niin sanottu Hamilton-Jacobi -yhtälö on epälineaarinen osittaisdifferentiaaliyhtälö, ja se on monin tavoin mielenkiintoinen. Derivoimalla sitä kanonisen koordinaatin suhteen siitä saadaan heti Newtonin toinen laki. Se voidaan kirjoittaa yksinkertaisesti näin:
Eli saamme
Eli
Sanoin: liikemäärän kokonaisaikaderivaatta on verrannollinen potentiaalienergian negatiiviseen gradienttiin. Tämähän on siis Newtonin toinen laki jälleen. Emme tarvinneet edes varsinaisia Hamiltonin yhtälöitä, jotka ovat Hamilton-Jacobi -osittaisdifferentiaaliyhtälön ns. karakteristiset yhtälöt.
Hamiltonin yhtälöt vastaavat mekaniikan ”hiukkastulkintaa”, koska ne ovat
Sekä
Alempi yhtälö on jälleen Newtonin toinen laki. Nämä yhtälöt vastaavat alkuperäisen Euler-Lagrangen stationaarisuusehtoa :
Joka on samoin Newtonin toinen laki!
Emmy Noether (yllä, 1882-1935) on ehkä suurin naispuolinen teoreettinen fyysikko. Noether kehitti syvällisen linkin olioiden symmetrian ja säilymislakien suhteen. Keksin, miten Noetherin teoreemat näkyvät helposti Hamilton-Jacobin teoriassa. Voimme derivoida Hamilton-Jacobin yhtälön ajan suhteen, jolloin saamme:
Jos nyt yhtälön ensimmäinen termi häviää, Hamiltoniaani, eli systeemin kokonaisenergia on ajasta riippumaton vakio. Jos pääfunktion osittaisderivaatta ajan suhteen kommutoi kokonaisderivaatan kanssa, (näin on, mutta ei yleisesti), saamme
Koska pääfunktion ajan kokonaisderivaatta on Lagrangiaani, saamme:
Eli jos Lagrangiaani on symmetrinen ajan suhteen (ei riipu eksiplisiittisesti ajasta) –> systeemin kokonaisenergia säilyy. Tämä on Noetherin teoreema hyvin lyhesti osoitettuna.
Vastaa