Jos matematiikkaa ei ole harrastanut yliopistotasolla, on matematiikka kieltämättä kokemuksena aika kuivaa. Yläastematematiikka on laskentoa ja lukiomatematiikka ainakin. Matematiikka kuitenkin tarjoaa korkeaa esteettistä nautintoa, jos oppii sen korkeamman kielen. Matematiikan estetiikan äärelle pääseminen on raskas tie, mutta se kannattaa kulkea. Se tuottanee samanlaista nautintoa kuin vaikkapa kaunis musiikki tai taide laajemmin. Itse koen kauniin matematiikan subjektiivisesti niin, että kaikki palaset loksahtavat jotenkin harmonisesti paikalleen abstrakteissa rakenteissa, ja se tuottaa erikoisella tavalla esteettistä nautintoa ja tyydytystä. Matematiikka löydetään, ehdottomasti. Matematiikka on universaalilogiikan muotokieltä, se kertoo meille mahdollisista maailmoista.
Matematiikka on kiistattomasti myös ihmiskunnan älyllisen toiminnan ylivoimaisesti korkein muoto. Matematiikka on täsmällistä, armotonta ja ei-poliittista. Se on korkeampaa ajattelua kuin teoreettinen filosofia, sillä vaikka analyyttinen filosofia on melko lähellä matematiikkaa, korkea matematiikka sisältää paljon enemmän. Wittgenstein tapaili sitä, minkä Kurt Gödel kuvasi yleisesti täsmällisesti ja täydellisesti. Suuret filosofit ovat aina myös matemaatikkoja. Descartes, Leibniz, Platon. Karl Popper oli varmaankin suurimpia 1900-luvun filosofeja, ja myös hän osasi matematiikkaa ja fysiikkaa. Popper on kirjoittanut jopa kirjan kvanttimekaniikan tulkinnoista, vaikka hänet tunnetaan yleisesti yhteiskuntafilosofiasta ja tieteenfilosofiasta yleisemmin. Matematiikka on myös tavattoman tehokas järjestelmä kuvaamaan luonnonilmiöitä. Tuntuu, kuin luonnon kirja olisi kirjoitettu todella matematiikan kielellä. Kauniin teorian ymmärtäminen tuo mielen harmoniaa ja tyyneyttä, matematiikalla on siis määrätty meditatiivinen ulottuvuus.
Omasta mielestäni esteettisesti kaikkein tyydyttävintä matematiikkaa on kompleksianalyysi, jota kutsutaan myös funktioteoriaksi. Funktioteoriassa tarkastellaan pääasiassa niin sanottuja holomorfisia funktioita ja meromorfisia funktioita.
Holomorfinen funktio voidaan tässä yhteydessä ymmärtää kaikkialla derivoituvaksi funktioksi jossakin kompleksitason alueessa. Holomorfisen funktion arvojoukko on myös kompleksitasossa. Tarkastellaanpa.
Kompleksitason luku z määritellään:
Kompleksitasolla siis x on x-akselin koordinaatti, ja y on pystysuoran imaginääriakselin koordinaatti. Yksinkertainen olio kompleksitasolla on yksikköympyrä. Sen määrittää parametrisaatio:
Nyt on helppoa nähdä Eulerin kaavan merkitys:
Eli yksikköympyrän länsireunassa ympyrän koordinaatti kompleksitasossa on -1 (pii-kulma on 180 astetta kiertoa vastapäivään, kun aloitamme laskennan koordinaatista 1).
Jos merkitsemme holomorfista funktiota
Derivoituvuusehto erotusosamäärällä on ankara: voimme ottaa raja-arvon imaginääriakselia pitkin ja sen täytyy olla sama kuin reaaliakselia pitkin otettu raja-arvo, tästä saamme niin kutsutut Cauchy-Riemann -ehdot (alaindeksit ovat osittaisderivaattoja):
Holomorfisuudesta seuraa, että itse asiassa sekä u että v ovat harmonisia funktioita, ja toteuttavat kumpainenkin erikseen Laplacen yhtälön.
Holomorfiset funktiot ovat jossakin mielessä siis erittäin säännöllisiä. Niiden rakenne lokaalisti predestinoi globaalin käyttäytymisen.
Seuraava tulos on keskeinen. Cauchyn integraalilause.
Holomorfisen funktion suljettu käyräintegraali alueessa, jossa f on holomorfinen, on nolla. Eli symbolisesti:
Lauseen vastine on vektorianalyysissä gradienttikentän käyräintegraali. Konservatiivisen kentän tekemä työ suljetun silmukan yli on nolla.
Vielä maagisempi on Cauchyn integraalikaava. Se sanoo, että holomorfisen funktion arvo jossakin pisteessä kiekossa saadaan integroimalla funktio kompleksitason kiekon reunan yli, eli:
Kyseesä on eräänlainen väliarvolause, joka liittyy siihen, että holomorfisen funktion reaaliosa ja imaginääriosa ovat kumpikin harmonisia funktioita. Kuvittele kiertäväsi metsän reuna, ja pelkästään näkemällä puuston reunalla pystyt tietämään,millainen puusto on metsän keskellä! Fantastisen kaunis matemaattinen lause.
Holomorfisille funktioille voidaan antaa myös potenssisarjaesitys, jota kutsutaan Laurent’n sarjaksi, eli
Laurent’n sarja on kurantti holomorfisille funktioille jossakin renkaassa. Integroimalla vastapäivään renkaan sisällä umpinaista polkua puolittain, saamme Residylauseen:
Kaikki muut termit integroituvat nollaan, paitsi termi
Tämä on veikeä. Kyseessä on kompleksisen logaritmin ominaisuus. Residylausetta voidaan soveltaa integroinnissa.
Meromorfiset funktiot ovat sellaisia holomorfisia funktioita, joilla on napoja. Esimerkiksi voimme tutkia funktiota:
Navat ovat selvästi -i ja i. Integroimalla puoliympyrällä, voidaan esimerkiksi epäoleellinen integraali laskea:
Tämä on selkeä esimerkki residylauseen voimasta.
Suomalaisintellektuelli Rolf Nevanlinna (1895-1980)tutki juuri meromorfisten funktioiden arvojenjakautumisteoriaa. Olli Lehto on kirjoittanut hyvän elämäkerran Rolf Nevanlinnasta : Korkeat maailmat – Rolf Nevanlinnan elämä (Otava 2001).
Suomalaiset ovat kunnostautuneet funktioteoriassa. Mielenkiintoinen sattumus muuten, että ranskalainen matemaatikko Andre Weil oli talvisodan alkupäivinä Nevanlinnan vieraana Suomessa, kun VALPO pidätti hänet vakoilusta epäiltynä. Andre Weilin tunnettu sisko Simone Weil oli filosofi ja mystikko. Suomeksi Simone Weililta on ilmestynyt ainakin Painovoima ja Armo, jossa Weil avaa kristillistä mystiikkaansa. Weil oli etnisesti juutalainen, mutta koki mystisen kokemuksen Fransiskus Assisialaisen rukouskappelissa, ja kääntyi efektiivisesti kristityksi.
Simone Weilin kiinnostus filosofiaan ja mystiikkaan ei ole yllättävää, sillä veljensä Andre oli algebrallisen geometrian alalla kunnostautunut, lahjakkuus kulkenee suvussa.
Vastaa