Yksi näteimmistä osa-alueista matematiikassa on funktionaalianalyysi. Funktionaalianalyysi kehittyi 1900-luvun alkupuolella, integraaliyhtälöitä tutkittaessa. Funktionaalianalyysin perusidea piilee siinä, että otamme ääretönulotteisen vektoriavaruuden jonkin kunnan yli, ja esitämme funktiot tuon vektoriavaruuden asukkaina. Esimerkiksi, jos meillä on vaikkapa jokin osittaisdifferentiaaliyhtälö (yhtälössä on derivaattoja usean muuttujan suhteen) muotoa:
Missä L on lineaarinen osittaisdifferentiaalioperaattori, u on ratkaistava funktio, ja F on jokin funktio (lähdetermi). Intuitiivisesti voimme ajatella funktiota u tuon avaruuden ”vektorina”, ja L vastaa ikään kuin ”matriisia”, joka syö ”vektoreita” ja sylkee ulos toisia ”vektoreita”. Matriisilaskennassa ratkaisisimme yhtälön kääntämällä matriisin ”L”, tämä vastaa osittaisdifferentiaaliyhtälöissä Greenin funktion menetelmää, mutta ei mennä nyt siihen.
Vektoriavaruus, jota tarvitsemme, on Hilbert-avaruus. Hilbert-avaruus on nimetty kuuluisan matemaatikon David Hilbertin mukaan. Hilbert-avaruus on täydellinen, normitettu lineaarinen sisätuloavaruus. Sisätulo tässä avaruudessa antaa normin, ja ideana on löytää tälle ääretönulotteiselle avaruudelle jokin sopiva, maksimaalinen, ortonormaali kanta. Voit ajatella ortonormaalia kantaa lukion i,jk, – koordinaatiston yleistyksenä ääretönulotteiseen vektoriavaruuteen. Sisätulo mittaa jossakin mielessä vektoriavaruuden alkioiden samankaltaisuutta. Luonnollinen funktioavaruus monissa sovellutuksissa on
jonka sisätulo <,> annetaan
Hilbert-avaruuden geometrinen idea on siis lausua yleinen funktio u seuraavana sarjakehitelmänä:
Funktioavaruudessa asuva funktio on siis lineaarikombinaatio funktioavaruuden kantavektoreista. Tämä on siis funktion lausuminen kantafunktioiden superpositiona.
Varsinainen neronleimaus oli kytkeä osittaisdifferentiaalioperaattori L ja vektoriavaruuden kanta toisiinsa. Tämä onnistuu spektraaliteorian avulla.
Tarkastellaan ominaisarvoyhtälöä:
Eli kysymme, onko sellaisia funktioita u, jotka differentiaalioperaattori L skaalaa tekijällä lambda?
Jos määrätyt tekniset ehdot täyttyvät, meillä on teoreema, joka sanoo, että L -operaattorilla on täydellinen joukko ominaisfunktioita ja reaaliset ominaisarvot. Nyt voimme virittää funktioavaruuden kyseisen differentiaalioperaattorin ominaiskannassa. Tämä auttaa, sillä derivointi palautuu tällöin kertolaskuksi.
Olennaisesti siis kyse on siitä, että differentiaalioperaattori diagonalisoidaan ominaiskantaan. Mielivaltaisen funktion esittäminen ominaiskannassa vastaa itse asiassa pienimmän neliösumman menetelmää, tilastotieteessäkin paljon käytetty.
Eli meidän täytyy löytää sellaiset kertoimet, että sarjakehitelmän funktion ”etäisyys” oikeasta funktiosta u on minimaalinen. Tarkastelemme siis virhettä, eli normia funktiolle
Kun minimoimme virhettä kertojakunnan suhteen, optimaalisuusehtoina
saamme täsmälleen sen, että kertojat ovat funktion u Fourier-kertoimet! Näin ollen funktio u on yksinkertaisesti seuraava kehitelmä:
Missä sisätulo on määritelty :
Tämä ajattelu vastaa täysin pienimmän neliösumman menetelmän normaaliyhtälöitä, jotka jokainen ekonometrikko osaa unissaankin.
Jos palaamme vielä osittaisdifferentiaaliyhtälöömme:
Sähköinsinöörit tunnistavat seuraavan: Jos tulkitsemme funktion F impulssiksi, ja funktion u vasteeksi, voimme ajatella operaattorin L käänteisoperaattorin olevan systeemin impulssivaste. Tarkemmin, operaattoria L vastaava Greenin funktio on systeemin impulssivastefunktio. Voimme kehittää sen luonnollisesti sarjaksi operaattorin ominaiskannassa. Funktio u saadaan sen jälkeen helposti ratkaistua, ja se palautuu olennaisesti Fourier-sarjaksi.
John von Neumann ja sovellettu funktionaalianalyysi
Unkarilainen matemaatikko ja yleisnero John von Neumann (1903-1957) kehitti sovellettua funktionaalianalyysiä 1920-luvun ja 1930-luvun taitteessa. Von Neumann loi systemaattisen teorian Hilbertin avaruudesta. Hilbertin avaruudessa on luonnollista käsitellä kvanttimekaniikkaa.
Kvanttimekaniikassa tarkastelemme systeemin aaltofunktiota jossakin Hilbertin avaruudessa. Aaltofunktio on siis neliöintegroituva
Se kuvaa hiukkasen tilaa. Varsinainen Schrödingerin yhtälö kuvaa aaltofunktion aikakehitystä:
Schrödingerin yhtälön voi mieltää linearisoituna Hamilton-Jacobi-Bellman -yhtälönä, tuttu stokastisesta optimisäätöteoriasta. Luonto siis optimisäätää.
Operaattoria yhtälön oikealla puolella kutsumme Hamiltonin operaattoriksi. Separoimalla yhtälön, saamme ominaisarvoyhtälön
Ominaisarvot ovat kvanttimekaanisen systeemin energiatiloja. Ominaisarvot ovat siis Hamiltonin operaattorin ominaisuus. Hamiltonin operaattori kuvaa systeemin kokonaisenergiaa. Kun Hamiltonin operaattori on itseadjungoitu, ominaisarvot ovat reaalisia, ja ominaisfunktiot muodostavat avaruuteen täydellisen ortonormaalin kannan. Tämä koordinaatisto kannattaa nyt valita, eli lausumme aaltofunktion superpositiona kantafunktioista f:
Kun kvanttilaskennassa puhutaan esimerkiksi qubiteilla laskemisesta, yllä oleva sarjakehitelmä on juuri se mystinen superpositio. Itse tulkitsen superposition maksimientropiatilaksi, ja mittaus päivittää systeemin tilan jollekin kantafunktiolle. Fourier-kertoimen neliö on kyseisen tilan todennäköisyys a priori. Tämä tulee siitä, että funktion normi säilyy riippumatta esitystavasta (Parsevalin teoreema).
Mittaus vastaa nyt ortogonaaliprojektiota jollekin avaruuden kantavektorille, jonka todennäköisyys riippuu suoraan Fourier-kertoimista (unitaarisuus). Matemaattisesti mittaus vastaa Bayesilaisesta tilastollisesta päättelystä priorijakauman päivitystä posteriorijakaumaan. Priorijakauma on tyypillisesti maksimientropiajakauma. Aaltofunktio littyy hiukkasen siirtymistodennäköisyyteen.
Teorian matemaattinen kauneus näkyy minusta siinä, että Hamiltonin operaattorin ominaisuudet antavat meille reaalisen energiaspektrin ja toisaalta täydellisen kannan funktioavaruuteen. Mittaus on tehtävissä Rieszin esityslauseen perusteella (funktionaalit ovat sisätuloja). Toisaalta todennäköisyyden säilyminen tulee siitä, että unitäärinen aikaevoluutio ja Hamiltoniaanin hermiittisyys ovat ekvivalentteja (Stonen teoreema). Intuitiivisemmin asian voi nähdä niin, että Schrödingerin yhtälö antaa separoituvana ratkaisuna aikaosan, jonka mitta on aina 1. Se johtuu juuri Schrödingerin yhtälön imaginääriyksiköstä aikaderivaattaoperaattorin edessä. Kaikki palaset siis loksahtavat todella paikalleen.
Matematiikka kehittyy usein analogioiden kautta. Funktionaalianalyysi yleistää matriisilaskennan ja lineaarialgebran. Oivallus, että matriisia voi vastata derivaattaoperaattori, on merkittävä. Toisaalta ominaisfunktioiden avulla funktioavaruuden virittäminen on nerokas temppu, koska se palauttaa derivoinnin kertolaskuksi.
Funktion esitys sarjakehitelmänä voidaan mieltää niin, että jokaiselle funktiolle on olemassa joukko rakennuspalikoita, joista se voidaan rakentaa. Signaalinkäsittelyssä on kyse samasta asiasta; kun signaali hajotetaan spektriin, kaikki alkeistaajuudet amplitudeineen kertovat signaalista yksityiskohtaisesti. Kvanttimekaniikassa energiatilat ovat kuin seisovia aaltoja, ne värähtelevät määrätyllä energialla. Kemistien atomiorbitaalit ovat juuri näitä Hamiltonin operaattorin ominaisfunktioita ja niiden superpositioita (palloharmoniset funktiot yms.). Eli kemia on pohjimmiltaan sovellettua funktionaalianalyysiä, ainakin reduktionistin silmin. Maailmassa on siis täydellistä kaunetta – matemaattista sellaista.
Vastaa