jussilindgren.fi

Ripa ruostuu – eli entropian merkitys

Written by

admin

in

Spread the love

Lämpökuolema odottaa meitä. Fyysikot puhuvat entropiasta. Mitä se entropia sitten on? Se liittyy oleellisesti todennäköisyyteen. Informaation mielessä voimme tarkastella binääriluvuista rakennettua lukujonoa. Eli voisimme tarkastella lukujonoa, joka koostuu nollista ja ykkösistä. Lukujonon alkion entropiaksi voimme määritellä

H=−p1log⁡(p1)−p2log⁡(p2)H=-p_1\log(p_1)-p_2\log(p_2)

Jossa

p1+p2=1p_1+p_2=1

Kyse on odotusarvoisesta informaatiosta, jos miellämme informaatiomitaksi suureen:

I=−log⁡(p)I=-\log(p)

Eli satunnaismuuttujan informaatio liittyy sen yllätyksellisyyteen. Jos realisaatio on mahdoton, sen informaatiosisältö on ääretön, jos kyseessä on varma realisaatio, informaatiosisältö on 0. Entropia on odotusarvoinen informaatio. Jos otamme äärettömän pitkän satunnaisen (riippumattoman ja samoin jakautuneen) lukujonon nollia ja ykkösiä, lukujonon entropia on täsmälleen yllä esitetty. Nyt on selvää, että H maksimoituu, jos todennäköisyys saada 1 tai 0 on 1/2. Silloin lukujono on maksimaalisen satunnainen.

Mitä tämä tarkoittaa intuitiivisesti? Se tarkoittaa sitä, että maksimientropiassa systeemi pyrkii jakamaan energian (energia on systeemin tila, tai 0 tai 1) mahdollisimman tasaisesti yli tila-avaruuden. Intuitiivinen esimerkki auttaa.

Ajattele osakkeen hintaa satunnaisprosessina. Kun osakkeen hintaa ennustetaan pitkän aikavälin päähän, hinnan varianssi tai sen neliöjuuri, eli volatiliteetti kasvaa. Näin voimme ajatella, että systeemin entropia kasvaa ajan funktiona. Entropia on systeemiä koskevan tiedon poissaoloa. Fysiikassa tämä tarkoittaa löyhästi sitä, että kaikki lämpötilagradientit yms. sellaiset paine-erot häviävät. Kun gradientit häviävät, kyky tehdä työtä häviää. Voima tekee työtä, ja voima liittyy gradienttiin. Tätä kutsutaan lämpökuolemaksi. Sen takaa termodynamiikan toinen pääsääntö.

Fysiikassa yksi tapa mitata systeemin gradientteja, on määritellä niin sanottu Dirichlet’n energia. Se on:

E=12∫Ω||∇u||2dVE=\frac{1}{2}\int_{\Omega}||\nabla u||^2dV

Lämpöyhtälö on tyypillinen esimerkki. Kun oletamme, että lämpövuo on gradientti lämpötilasta u, ja sovellamme Gaussin lausetta, saamme lineaarisen osittaisdifferentiaaliyhtälön:

∂u∂t=Δu\frac{\partial u}{\partial t}=\Delta u

kerrotaan u:lla puolittain, ja integroidaan määrittelyalueen yli, saadaan:

ddt∫Ω12u2dV=−∫Ω||∇u||2dV\frac{d}{dt}\int_{\Omega}\frac{1}{2}u^2dV=-\int_{\Omega}||\nabla u||^2dV

Tässä on eräs instanssi termodynamiikan toisesta pääsäännöstä: systeemin lämpötila laskee nopeudella, joka on suoraan verrannollinen systeemin kokonaisgradienttienergiaan. Kun gradientin häviävät, systeemi on lämpötasapainossa.

Termodynamiikka liittyy satunnaisprosesseihin siten, että Laplacen operaattori on itse asiassa Brownin liikkeen generaattori, eli jos näet jossakin parabolisen osittaisdifferentiaaliyhtälön, yleensä sen ”duaalina” voi mieltää jonkin satunnaisprosessin, jota ajaa Brownin liike. Siksi esim optiohinnoittelussa on toista derivaattaa. Tämä liittyy niin sanottuun fluktuaatio-dissipaatioteoreemaan. Yhtä kaikki, ripa ruostuu, ja systeemistä saatava hyödyllinen työ vähenee, lopulta olemme lämpökuolemassa, kun erot ovat tasoittuneet, ja systeemin energia on jaettu mahdollisimman tasaisesti systeemin eri tiloille.

Olen noin 20 vuotta sitten lanseerannut termin ”merkitysten lämpökuolema”. Se tarkoittaa sitä, että kun globalisaatio, kulttuuridiffuusio ja muuttoliike jauhaa kaikki kulttuurigradientit nollaan, merkitykset häviävät, ja on pelkkää lämpösäteilyä ja tasalaatuista mössöä. Ripa ruostuu.

Kommentit

Vastaa

Sähköpostiosoitettasi ei julkaista. Pakolliset kentät on merkitty *

More posts