Tekoäly-yhtiö OpenAI väittää ratkaisseensa yhden matematiikan visaisimmista ongelmista. Nimittäin, firma väittää, että OpenAI olisi ratkaissut erään Clay-instituutin Millennium-ongelmista. Ratkaisusta saisi miljoona dollaria palkinnoksi. Ongelma on myös Steve Smalen isojen ongelmien listalla:
Ongelma koskee nestevirtauksen matematiikkaa, tarkemmin Navier-Stokesin yhtälöitä. Kyseessä on epälineaarinen osittaisdifferentiaalisysteemi, jossa dynaaminen muuttuja on toisaalta nestevirtausta kuvaava nopeuskenttä, toisaalta dynaaminen painekenttä. Voimme ajatella nestevirtauksen olevan määritelty kolmiulotteisessa avaruudessa, joka on rajaton. Navier-Stokes -yhtälöitä käytetään mm. aerodynamiikassa, konetekniikassa, laivan teoriassa, plasmafysiikassa jne. Yhtälöiden tekninen merkitys on valtava, ne kuvaavat fluidien virtausta yleisesti jatkumomekaniikassa. Ne keksittiin jo 1800-luvulla Eulerin yhtälöiden yleistyksenä kitkalliseen virtaukseen.
Jos merkitsemme nopeuskenttää symbolilla u, ja painekenttää symbolilla p, Navier-Stokesin yhtälöt ovat:
Kyseessä on Cauchyn liikemäärän säilymisyhtälö, eli Newtonin 2. laki virtaukselle. Vasen puoli yhtälöstä kuvaa nesteen kiihtyvyyttä, oikea puoli vaikuttavia voimia. Vaikuttavat voimat kiihdyttävät nestettä, mukaan lukien ulkopuolinen voima f. Neste on viskoosia, eli neste menettää kitkan vuoksi energiaa (lämmöksi tms.). Viskoosia voimaa kuvaa nopeuskentän jännitetensorin divergenssi, eli tässä tapauksessa nopeuskentän Laplaciaani (kolmio-symboli tai delta). Painekentän gradientti myös vaikuttaa voimana, joka pitää nesteen kokoonpuristumattomana.
Oletamme siis lisäksi, että neste on kokoonpuristumaton, eli
Millennium-ongelmassa kysytään suunnileen seuraavaa:
Jos oletamme äärellisen energian systeemissä/nesteessä, ja derivoituvan tai sileän alkudatan ja voimat, voiko hyvin käyttäytyvä virtaus kehittää inherentisti patologian, eli voiko nesteen pyörrevirtaus karata äärettömyyteen äärellisessä ajassa. Ratkaisu siis käyttäytyy dynaamisesti hetken aikaa ok, mutta hetkellä T tapahtuu jokin singulariteetti taikka patologia, ratkaisu ”räjähtää”. Vastaava ongelma koskee myös kitkattomia virtauksia.
OpenAI:n ehdottama ratkaisu väittää, että kyllä voi. Tämä tarkoittaa sitä, että nestevirtauksen matemaattinen malli on jossakin mielessä puutteellinen. Tulos, mikäli oikein, avaa ehkä myös turbulenssin teoriaa. Joka tapauksessa asia on valtava tieteenhistoriassa, ongelma on ollut ratkaisematta pitkään, ja nyt näyttäisi siltä, että AI voi todella edistää tiedettä suurin harppauksin. OpenAI:n mukaan 10 000 AI-agenttia rutkutti ongelmaa 88 tuntia. Nyt odotamme tiedeyhteisön vastausta, onko tämä konstruktiivinen todistus oikein.
Ratkaisu on tässä:
https://cdn.openai.com/pdf/32d9f210-8b73-45e0-91bc-82a30aef8a9a/navier-stokes.pdf
Vastaa