Isaac Newton (1643-1727) kirjoitti vapaasti lainaten seuraavaan tapaan: ”Jos olen nähnyt pidemmälle, johtuu se siitä, että olen seissyt jättiläisten harteilla.”.
Teoreettista fysiikkaa voitaisiin kutsua myös luonnonfilosofiaksi, sillä useimmat valistuksen kauden ja tieteellisen vallankumouksen ajattelijat olivat yht’aikaisesti filosofeja ja fyysikkoja, matemaatikkojakin. Luonnonfilosofian muutos moderniksi teoreettiseksi fysiikaksi oli asteittainen. Varmaankin on kuitenkin niin, että ennen Kopernikusta, Kepleriä ja Galileita ei ollut varsinaista kunnollista fysiikkaa edes olemassa.
Ranskalainen analyyttinen filosofi Rene Descartes (1596-1650) tunnetaan yleisesti tiedon rajoja koskevista ajatuksistaan, mutta Descartes oli myös matemaatikko ja fyysikko. Descartes kehitti liikemäärän käsitteen, ja ennakoi liikemäärän säilymislain. Aristoteles oli kuitenkin jo esittänyt antiikin ajalla, että ”Luonto ei tee mitään turhaan.” Aristoteelisessa metafysiikassa teleologialla oli keskeinen painotus. Teleologinen metafysiikka näkyy eritoten yleisnero G.W. Leibnizin (1646-1716) ajattelussa. Leibnizin paras mahdollinen maailma on teesi siitä, että jos ja kun Jumala on olemassa, täytyy tämän maailman olla paras mahdollinen maailma. Vaikka näemme pahuutta ja kärsimystä, voi olla niin, että emme pysty näkemään kaikkia kausaliteetteja asioiden välillä, joten emme pysty ymmärtämään, miksi kaikki on tarpeellista kokonaisuuden kannalta. Parhaan mahdollisen maailman pitäisi siis näkyä myös luonnonlaeissa. Leibniz varmastikin myötävaikutti paljon siihen, että myöhemmin fysiikassa on otettu käyttöön nk.vaikutusperiaatteet.
Leibniz tunnetaan toki hänen ajatuksestaan ’parhaasta mahdollisesta maailmasta’, mutta Leibniz kirjoitti myös tarkemmin luonnonperiaatteista esimerkiksi esseessään Tentamen anagogigum (1696): […täydellisyyden periaate ei rajoitu pelkästään yleiseen vaan ulottuu olioiden ja ilmiöiden yksityiskohtiin ja muistuttaa siinä optimaalisten muotojen metodia, eli muotojen, jotka esittävät maksimin tai minimin.] Leibnizin esseessä näkyy selvästi finaalisten syiden arkkitehtoniikka, mikä periytyy varmaankin paljolti aristoteelisesta metafysiikasta. Vuodesta 1695 alkaen Leibniz oli kirjoittanut elävästä voimasta (vis viva), eli suureesta:
Leibnizin mukaan elävä voima säilyy universumissa. Toisaalta samassa esseessään ”Specimen dynamicum” hän esittää myös kuolleen voiman käsitteen (vis mortua). Leibniz ei käsittääkseni vielä päässyt pohdinnoissaan tämän pidemmälle. Elävä voima vastaa klassista kineettistä energiaa, ja kuollut voima vastaa potentiaalienergiaa. Mekaniikka on tanssia elävän ja kuolleen voiman välillä.

Ranskalainen matemaatikko ja fyysikko Emilie du Chatelet (1706-1749) teki mittauksia putoavilla kappaleilla, ja muotoili energian säilymisperiaatteen. Chatelet oli myös intellektuellikirjoittaja Voltairen rakastajar, ja hänellä oli mittavaa kirjeenvaihtoa mm. Leonhard Eulerin (1707-1783) sekä Pierre Louis Moreau de Maupertuis’n (1698-1759) kanssa. Chatelet’n kirjeenvaihto ei ole säilynyt kuin osin, joten emme tiedä tarkkaan, mikä Chatelet’n vaikutus on ollut myöhempään fysiikkaan ja luonnonfilosofiaan. Chatelet käänsi Newtonin Principian ranskaksi, ja spekuloi mm. johdannaisilla. Erittäin edistyksellinen nainen 1700-luvun Euroopassa! Suomalainen säveltäjä Kaija Saariaho (1952-2023) on säveltänyt Chatelet’n innoittamana oopperan Emilie.
Pienimmän vaikutuksen periaate

Ranskalainen Maupertuis esitti viimein vuonna 1746 metafyysis-teologisen periaatteensa luonnonlaeista. Tämä pienimmän vaikutuksen periaate sanoi, että luonto toimiessaaan minimoi määrätyn suureen, joka on Maupertuis’n mukaan:
Maupertuis edisti Newtonin ajatuksia, ja toimi Preussin tiedeakatemian johtajana. Suomessa Maupertuis tunnetaan etenkin maan muodon mittaajana, hänen retkikuntansa teki tutkimusmatkan Tornionlaaksoon 1730-luvulla, ja Maupertuis osoitti maan olevan litistynyt navoiltaan. Newtonilainen maailmankuva sai vahvistusta. Maupertuis kirjoitti myös evoluutiosta, seksuaalisuudesta ja monesta muusta luonnofilosofisesta kokonaisuudesta.
Voltaire riitautui Maupertuis’n kanssa, sillä ilmeisesti he olivat molemmat kiinnostuneita eroottisessa mielessä samasta naisesta, juuri Emilie du Chatelet oli heidän intohimonsa jaettu kohde. Voltaire syytti Maupertuis’n plagioineen pienimmän vaikutuksen periaatteen, ja Samuel König (1712-1757) väitti Maupertuis’n varastaneen idean Leibnizilta. Toki Leibniz oli tukenut mm. Fermat’n ajatuksia valosta ja optiikasta, mutta edelleen Maupertuis on ensimmäinen, joka on todistetusti esittänyt periaatteen selkeässä, matemaattisessa muodossaan. Periaate siis sanoo, että kappale kulkee sellaista polkua, joka minimoi yllä esitetyn integraalin arvon. Myöhemmin nerokas matemaatikko Euler ja italialainen matemaatikko Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) jalostivat pienimmän vaikutuksen periaatetta. Pienimmän vaikutuksen periaate sai muodon
Missä integroitava lause on kineettisen energian T ja potentiaalienergian V erotus. Nyt integroimme pienten aikadifferentiaalien suhteen. Integroitavaa lausetta kutsutaan Lagrangiaaniksi. Voimme merkitä:
Optimaalisuusyhtälö yllä olevan tehtävän ratkaisuna on täsmälleen Newtonin toinen laki, eli
Siirtyminen duaaliin
Usein on hyödyllistä pohtia erilaisia ’duaalipareja’, hyvä ja paha, mies ja nainen jne.. Fysiikassa erityisen hyödyllinen ’duaali’ on kokonaisenergia. Kutsumme sitä Hamiltoniaaksi keksijänsä mukaan.
William Rowan Hamilton (1805-1865) oli irlantilainen matemaatikko ja fyysikko. Hamiltoniaani, H, on systeemin kokonaisenergia, ja p on kanoninen liikemäärä, q on kanoninen koordinaatti. Kyseessä on näppärä temppu, jolla saamme esitettyä mekaniikan probleeman ’duaaliavaruudessa’. Hamiltoniaani on siis Lagrangiaanin ns. Legendre-duaali. Adrien-Marie Legendre (1752-1833) oli ranskalainen matemaatikko. Teoreettisen fysiikan opiskelijat törmäävät Hamiltonin mekaniikkaan yleensä teoreettisen mekaniikan kurssilla.
Klassisessa mekaniikassa voidaan osoittaa tietyin ehdoin, että kanoninen liikemäärä on:
Missä S on stationäärinen arvo optimoitavalle integraalille, kuten on yllä esitetty. Kolmio tarkoittaa gradienttioperaattoria, eli derivaattaoperaattoria kanonisten koordinaattien suhteen.
Hamiltonin funktio saadaan siis muotoon:
Toisaalta voimme tarkastella Hamiltonin pääfunktion kokonaisaikaderivaattaa, per määritelmä:
Koska pääfunktion kokonaisaikaderivaatta on systeemin Lagrangiaani, ja toisaalta sijoittamalla pääfunktion gradientin sisältämän termin yllä, saadaan ensin:
Eli:
Tästä saadaan heti:
Tämä niin sanottu Hamilton-Jacobi -yhtälö on epälineaarinen osittaisdifferentiaaliyhtälö, ja se on monin tavoin mielenkiintoinen. Derivoimalla sitä kanonisen koordinaatin suhteen siitä saadaan heti Newtonin toinen laki. Se voidaan kirjoittaa yksinkertaisesti näin:
Eli saamme
Eli
Sanoin: liikemäärän kokonaisaikaderivaatta on verrannollinen potentiaalienergian negatiiviseen gradienttiin. Tämähän on siis Newtonin toinen laki jälleen. Emme tarvinneet edes varsinaisia Hamiltonin yhtälöitä, jotka ovat Hamilton-Jacobi -osittaisdifferentiaaliyhtälön ns. karakteristiset yhtälöt.
Hamiltonin yhtälöt vastaavat mekaniikan ”hiukkastulkintaa”, koska ne ovat
Sekä
Alempi yhtälö on jälleen Newtonin toinen laki. Nämä yhtälöt vastaavat alkuperäisen Euler-Lagrangen stationaarisuusehtoa :
Joka on samoin Newtonin toinen laki!

Emmy Noether (yllä, 1882-1935) on ehkä suurin naispuolinen teoreettinen fyysikko. Noether kehitti syvällisen linkin olioiden symmetrian ja säilymislakien suhteen. Keksin, miten Noetherin teoreemat näkyvät helposti Hamilton-Jacobin teoriassa. Voimme derivoida Hamilton-Jacobin yhtälön ajan suhteen, jolloin saamme:
Jos nyt yhtälön ensimmäinen termi häviää, Hamiltoniaani, eli systeemin kokonaisenergia on ajasta riippumaton vakio. Jos pääfunktion osittaisderivaatta ajan suhteen kommutoi kokonaisderivaatan kanssa, (näin on, mutta ei yleisesti), saamme
Koska pääfunktion ajan kokonaisderivaatta on Lagrangiaani, saamme:
Eli jos Lagrangiaani on symmetrinen ajan suhteen (ei riipu eksiplisiittisesti ajasta) –> systeemin kokonaisenergia säilyy. Tämä on Noetherin teoreema hyvin lyhesti osoitettuna.
Aalto vai hiukkanen?

Entä aaltohiukkasdualismi? Valolle oli annettu aaltotulkinta sen jälkeen, kun Maxwellin kenttäyhtälöistä oli löydetty tyhjiöratkaisuina aaltoyhtälöt. Siitä saimme radioaallot ja sähkömagneettisen säteilyn, tietoyhteiskunnan. Max Planck (1858-1947) ja Albert Einstein (1879-1955) selittivät ja osoittivat vuosisadan alussa, että valolla on aaltoluonteen lisäksi hiukkasluonne, ja toisaalta herttua Louis de Broglie (1892-1987) postuloi aineaallot väitöskirjassaan vuonna 1924. Erwin Schrödinger (kuvassa, 1887-1961) julkaisi Schrödingerin aaltoyhtälön vuonna 1926.
Dualismi on helpohko mieltää matemaattisesti Hamilton-Jacobin teorian kautta: olion hiukkasominaisuudet vastaavat derivoitua Hamilton-Jacobin yhtälöä, ja aalto-ominaisuudet vastaavat taas alkuperäistä Hamilton-Jacobin yhtälöä. Tämä oli Schrödingerin lähtökohta Schrödingerin yhtälön johdossa. Samoin otin sen lähtökohdaksi omassa väitöskirjassani, tosin hyödynsin yleisempää Hamilton-Jacobi-Bellmann -osittaisdifferentiaaliyhtälöä.
Tämä on kvanttimekaniikan ydintä, ja sitä ei ymmärretä vieläkään. Empiirisesti on kuitenkin selvää, että valo ja varaus jakavat ainakin seuraavat ominaisuudet:
- Molemmat synnyttävät tilastollisen interferenssikuvion kaksoisrakokokeessa.
- Yksittäiset fotonit ja yksittäiset elektronit käyttäytyvät kuin hiukkaset, mutta tilastollisesti fotonisuihku ja elektronisuihku käyttäytyvät kuin aallot, ne muodostavat varjostimelle interferenssikuvion.
- Molemmat käyttäytyvät ikään kuin satunnaisprosessin alla.
Käsitykseni mukaan Hamilton-Jacobi -yhtälö kuvaa käsitteellisesti aaltohiukkasdualismia. Sen perusmuotoinen pääfunktio vastaa aaltorintamaa tai -vaihetta, ja sen derivoitu versio (Newtonin toinen laki vastaa geometrista optiikkaa ja hiukkastulkintaa). Relativistinen kvanttimekaniikka voidaan esittää satunnaisprosessin avulla, jolloin linearisoituna testihiukkasen ”pääfunktiosta” saadaan kaikki kvanttimekaniikan perusyhtälöt: Stuckelbergin aaltoyhtälö, Diracin yhtälö, Klein-Gordonin yhtälö, sähköttäjän yhtälöt, Schöringerin yhtälö limeksenä epärelativistessa tapauksessa. Johdin nämä väitöskirjassani:
https://www.nature.com/articles/s41598-019-56357-3
Alla on yksittäisten fotonien kanssa tehty kaksoisrakokoe:
Yksittäisillä elektroneilla tehtiin vastaava kaksoisrakokoe vasta vuonna 2013! Ja tulokset vastaavat täysin valolla tehtyjä kokeita Hamamatsun toimesta.
https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1367-2630/15/3/033018
Eli: koska valo ja alkeisvaraus käyttäytyvät täysin samoin kaksoisrakokokeessa, on syytä epäillä, että varaus on myös osin sähkömagneettista säteilyä, koska valo on sähkömagneettista säteilyä, Maxwellin yhtälöiden aaltoyhtälöt kertovat tämän.
Aaltohiukkasdualismia on vaikea ymmärtää. Empiiristen tutkimusten perusteella oma alustava tulkintani menee jotenkin tähän tapaan:
Valo ja materia on pohjimmiltaan rakennettu samasta substanssista, ja molemmat ovat pohjimmiltaan jotakin aaltoilevaa. Hiukkashavainnot selittyvät samoin kuin valon aaltoluonne näkyy geometrisessa optiikassa ’säteinä’, vaikka valo on pohjimmiltaan aaltoliikettä. Kvantittuminen liittyy seisoviin aaltoihin ja Fourier-sarjoihin. Varaus ja materia eivät siis syvemmällä todellisuuden tasolla ole erillisiä objekteja, vaan kaikki universumissa on yhtä. Minusta tämä ykseys moneudessa on esteettisesti tyydyttävin tulkinta. Uni-verse! Sana on täydellinen kuvaamaan todellisuutta. Olevainen on nähdäkseni aika-avaruus itse, josta syntyy kaikki ilmiöt. Varaus, massa, liike, valo, säteily, vuorovaikutus. Kaikki universumin tanssia. Hiljattain julkaistussa artikkelissa tämä kaikki näkyy mukavasti.













