Albertin viimeistelemätön sinfonia
Albert Einstein käytti elämästään viimeiset 30 vuotta yritykseen yhdistää sähkömagnetismi ja gravitaatio, luonnon kaksi perusvoimaa. Hän ei onnistunut tavoitteessaan. Muita ongelman kanssa painiskelleita tutkijoita olivat mm. saksalainen matemaatikko Hermann Weyl, puolalainen matemaatikko Theodor Kaluza sekä ruotsalainen fyysikko Oskar Klein. Myös kvanttimekaniikan isä Erwin Schrödinger yritti yhdistää sähkömagnetismin ja painovoiman. Säieteoria on teoreettisen fysiikan viimeisin yritys yhdistää perusvoimia, mutta siinä ulottuvuuksia on 11. Eli teoriaa on vaikeaa edes periaatteessa falsifioida. Sir Roger Penrose (Nobel 2020) pitää säieteoriaa vääränä. Nyt on siis tarve ottaa uusia näkökulmia fysiikan perusteorioihin.
Yleinen suhteellisuusteoria

Kuva: Andreas Praefcke
Einstein muotoili yleisen suhteellisuusteorian vuonna 1915, ja esitteli sen ensi kertaa Preussin tiedeakatemiassa. Tiedeakatemia on muuten sama, jonka perusti Leibniz, ja jota muun muassa Maupertuis johti myöhemmin. Akatemia on Berliinissä, Unter den Lindenin lehmusten katveessa. Kaunis talo, ja muistuttaa meitä siitä, mitä hienoa Euroopassa joskus oli.
Yleisessä suhteellisuusteoriassa painovoimaa ei oikeastaan ole, vaan kappaleet kulkevat lyhimpiä maailmanviivoja neliulotteisessa aika-avaruudessa. Aika-avaruus on kaareutunut, ja jännite-energiatensori on aika-avaruuden kaarevuuden lähde. Teorian ennustamat tulokset on vahvistettu monta kertaa. Teoriassa massa kertoo aika-avaruudelle kuinka kaareutua, ja aika-avaruus kertoo kappaleille, kuinka liikkua. Teoria on kaunis, ja siinä on määrättyä teologista estetiikkaa. Kvanttimekaniikka on rumaa, eikä kukaan oikein ymmärrä sen monia tulkintoja. Kvanttimekaniikan yhtälöt ovat kuitenkin toimivia, ja ne on testattu monta kertaa. Yleisessä suhteellisuusteoriassa Einsteinin kenttäyhtälöt voidaan johtaa minimoimalla tiettyä kokonaiskaarevuusfunktionaalia. Kenttäyhtälöt ovat epälineaarisia tensoriyhtälöitä, eli käytännössä vaikeita ratkoa. Yhtälöt ennustavat mm. mustan aukon, kun jotkut ratkaisut yhtälöissä pitävät sisällä singulariteetteja (jakaja menee nollaan). Yhtälöt ennustavat myös gravitaatioaaltoja, jotka ovat viimein myös löytyneet havainnoissa, aivan viime vuosina. Teoria siis on hyvä, koska se toimii, ennustaa, on yksinkertainen ja falsifioitavissa.

Yllä Einsteinin kenttäyhtälöt. Jännite-energiatensori on yhtälön oikealla puolella. Einstein ei ollut teoriaan täysin tyytyväinen, koska jännite-energiatensori on vähän ulkopuolinen asia, eikä teoria ole jossain mielessä suljettu ja täydellinen. Vasemmalla puolella on Einsteinin tensori lisättynä kosmologisella vakiolla Lambda. Einsteinin tensori on eräänlainen sopivan symmetrinen kaarevuustensori, joka on myös lähteetön tai divergenssivapaa.
Weylin geometria
Yleinen suhteellisuusteoria perustuu pseudo-riemannilaiseen differentiaaligeometriaan. Sen keskeinen ominaisuus on se, että metrisen tensorin kovariantti derivaatta on aina nolla. Weylin geometria on laajennos ja yleistys, jossa metrisen tensorin kovariantti derivaatta voi olla nollasta poikkeava. Suomeksi se tarkoittaa sitä, että pituus käsitteenä on aidosti lokaali eli suhteellinen asia. Muistamme suhteellisuusteoriasta pituuksien muuttumisen nopeuden funktiona jne. Eli Weylin geometria on oikeasti se ”oikea” geometria, ja juuri oikea suhteellisuusteoriaan. Ja rakas ystäväni, kaikki on suhteellista! Hermann Weyl oli lukenut paljon filosofiaa, mm. Kantin käsityksiä ajasta ja avaruudesta, Fichteä olemisesta ja eksistenssistä. Myös Husserlin fenomenologiaan hän tykästyi. Kuriositeettina: myös logiikkanero Kurt Gödel piti Husserlin fenomenologiasta. Weylin geometria poikkeaa siis jonkin verran tavallisesta pseudo-Riemannin monistoista (monisto on diffisgeometrian termi, ja se tarkoittaa sitä kokonaisuutta, missä metrinen tensori määrittää sen, kuinka vektoreiden sisätulo lasketaan.). Monisto tavallaan leivotaan kasaan lokaalisesti alueista, jossa voidaan piirrellä tangenttivektoreita. Pseudo-riemannilainen geometria on tavallaan kohtisuorassa Weylin geometrian kanssa, koska edellisessä vektoreiden suunnat ovat suhteellisia, tai lokaaleja, mutta suuruudet ovat invariantteja. Weylin geometria sallii myös vektoreiden pituuksien olevan suhteellisia tai lokaaleja ilmiöitä.
Sähkömagnetismi
Maxwell kuvasi sähködynamiikan 20 yhtälöllä. Nykyisin sähköinsinöörit oppivat ne vektorianalyysin muodossa näin:

Ensimmäinen yhtälö kertoo meille sen, että varaus luo ympärilleen sähkökentän. Eli varaustiheys on verrannollinen sähkövuon tiheyden divergenssiin. Toinen yhtälö kertoo meille sen, että magneettivuon tiheyttä kuvaava vektorikenttä on lähteetön, magneettisia monopoleja ei ole. Kolmas yhtälö on Faradayn induktiolaki: muuttuva magneettikenttä on sähkökentän pyörrekentän lähde. Tavattoman tärkeä laki Fortumille ja Teollisuuden voimalle. Hienommin ilmaistuna induktiolaki on yhtäpitävä kaarevuustensorin eräiden symmetriaominaisuuksien kanssa.
Neljäs laki on Amperen-Maxwellin laki, se liittää ensijaisesti magneettivuon pyörrekentään lähteeksi sähkövirran ja siirrosvirran. On tärkeää huomata, että yhtälöissä on määrätty vinosymmetrinen rakenne. Se liittyy myös analyyttisten funktioiden teoriaan ja harmonisten funktioiden teoriaan. Yhtälöt ovat niin kauniit, että ne saavat uskomaan korkeampaan älyyn ja luomakunnan harmoniaan.
Tulkoon valkeus!
Ottamalla roottorin kahdesta jälkimmäisestä yhtälöstä, päästään pienellä vaivalla algebraa nopeasti aaltoyhtälöihin ilman lähteitä. Näin havaitsemme: valo on sähkömagneettisen kentän värähtelyä, jossa magneettikentällä ja sähkökentällä on kohtisuorat värähtelytasot! Polarisaatio on mallin vapausaste.
Klassinen sähködynamiikka on täydellinen, kun muistamme vielä Lorentzin voimalain: varaukseen vaikuttaa voima, joka on verrannollinen sähkökenttään ja varauksen nopeuden ja magneettikentän ristituloon. Tämä on syy sille, miksi plasma pysyy kasassa Tokamak-fuusioreaktorissa.
Heittääkö Jumala noppaa?
Einstein oli sitä mieltä, että ei. Toisaalta kvanttimekaniikka toimii, ja Schrödingerin yhtälö kuvaa hyvin atomin rakenteen. Ominaisarvot ovat energiatasoja, tämä tulee Fourier-sarjojen ominaisuuksista. Olen väitöskirjassani johtanut keskeiset kvanttimekaniikan osittaisdifferentiaaliyhtälöt eräänlaisena likiarvona stokastisen optimisäätötehtävän arvofunktiolle. Teknisesti kaikki keskeiset kvanttipuolen yhtälöt tulevat Hamilton-Jacobi-Bellman yhtälöstä, kun linearisoidaan yhtälöt, ja tarkastellaan arvofunktiota riittävän läheltä, Planckin etäisyyksiltä. Koska painovoima ja kvanttimekaniikka eivät sovi yhteen, on minusta kvanttimekaniikan väistyttävä. Jokin syvempi teoria tarvitaan. Uskon, kuten Nikola Tesla, että ratkaisu on sähkömagnetismissa ja suhteellisuusteoriassa. Einstein oli lopulta voittaja. Hän kuoli 1955 Princetonissa, vielä kuolinvuoteellaan hän yritti yhdistää sähkömagnetismia ja yleistä suhteellisuusteoriaansa.
Yllä mielenkiintoinen video tämän kirjoituksen teemoista. Alla myös ihan katsomisen arvoinen video.