jussilindgren.fi

Tekijä: admin

  • Blackjack, vedonlyönti ja sijoitussalkun optimointi informaatioteorian avulla

    Blackjack, vedonlyönti ja sijoitussalkun optimointi informaatioteorian avulla

    Amerikkalainen Edward Thorp (1932-) on mielenkiintoinen hahmo. Hedgerahastosijoittaja, uhkapeluri, matemaatikko (PhD UCLA), professori. Thorp ilmeisesti keksi optiohinnoittelukaavan, eli Black-Scholes -mallin jo 1967, mutta käytti sitä itse, ja ei julkaissut sitä. Thorp ja informaatioteorian isä Claude Shannon (1916-2001) kehittivät Las Vegasin kasinoilla 1960-luvulla tavan voittaa talo kortteja laskemalla ja niin sanottua Kellyn kriteeriä soveltamalla. Bell -laboratoriossa työskennellyt fyysikko John Kelly (1923-1965) kehitti tämän mielenkiintoisen informaatioteoreettisen mallin vedonlyönnille vuonna 1956. Thorp taas ymmärsi, että pelkän matemaattisen edun (korttien laskemisen) löytäminen ei riitä, vaan pelaajan täytyy panostaa juuri oikeassa suhteessa pelikassaansa nähden, välttääkseen konkurssin, ja maksimoidakseen varallisuuden pitkän aikavälin kasvun. Näiden ideoiden perusteella kaikki herrat vaurastuivat satumaisesti. Las Vegas oli vielä 1960-luvulla mafian hallinnassa, ja erilaiset kikat pelipöydässä yleisiä. Frank Sinatra ja Elvis esiintyivät kasinoilla, ja viina virtasi. Hauskaa varmasti oli. Kasinot yrittivät estää Thorpin pelaamisen uhkailemalla, muuttamalla sääntöjä kesken pelin ja lopulta porttikielloilla. Tämän jälkeen Thorp käänsi katseensa maailman suurimmalle kasinolle: Wall Streetille.

    Voimme ajatella Kellyn mallia kuitenkin intuitiivisemmin normaalin vedonlyönnin kautta, esimerkiksi nyrkkeilymatsin avulla. Kuvitellaan loputon määrä nyrkkeilymatseja, ja näille vetoja tarjoavat markkinat. Vedonlyöjämarkkina (bookmaker) tarjoaa kertoimia, ja voit veikata jomman kumman nyrkkeilijän voittoa. Kysymys on siis siitä, että meillä on vedonlyöjä, jolle tarjotaan vetoja voittokertoimella b. Voittokerroin tarkoittaa, että jos panostat euron, ja voittokerroin on 2, voitat nettona euron.

    Nyt voimme siirtyä vedonlyöntitilanteen matemaattiseen tai informaatioteoreettiseen analyysiin. Meillä on kohinallinen (binäärinen) tiedonsiirtokanava, jossa signaali on oikea todennäköisyydellä p (sisäpiirin tieto vedosta on oikeaa) ja väärä
    todennäköisyydellä q=1-p (sisäpiirin tieto on väärää). Nyt vedonlyöjällä on jokin alkupääoma X_0, ja hänen ongelmana on päättää, kuinka ison panoksen asettaa (f, osuus kulloisestakin pääomasta), kun vetoja on saatavilla määrätyllä kertoimella.

    Pääoma kasvaa kaavalla:

    XN=X0(1+bf)W(1−f)LX_N=X_0(1+bf)^W(1-f)^L

    Jossa W on voittojen lukumäärä ja L on häviöjen lukumäärä. Voimme nyt ottaa logaritmin ja kirjoittaa:

    1Nlog⁡XNX0=WNlog⁡(1+bf)+LNlog⁡(1−f)\frac{1}{N}\log{\frac{X_N}{X_0}}=\frac{W}{N}\log{(1+bf)}+\frac{L}{N}\log{(1-f)}

    Suurten lukujen lain nojalla saamme:

    WN→p\frac{W}{N}\rightarrow p

    Sekä

    LN→q\frac{L}{N}\rightarrow q

    Eli:

    1Nlog⁡XNX0=plog⁡(1+bf)+qlog⁡(1−f)\frac{1}{N}\log{\frac{X_N}{X_0}}=p\log{(1+bf)}+q\log{(1-f)}

    Vasemmalla puolella on varallisuuden logaritminen kasvuvauhti. Maksimoidaan tämä valitsemalla f optimaalisesti f. Saadaan:

    f∗=pb−qb=PelaajanEtuVoittokerroinf^{*}=\frac{pb-q}{b}=\frac{PelaajanEtu}{Voittokerroin}

    Eli optimaalinen panostus riippuu voittokertoimesta ja sisäpiiritiedon laadusta. Jos sisäpiiritiedon laatu on puhdasta kohinaa, ja voittokerroin on 1 saadaan f^*=0. Eli tasakertoimilla noppaa ei kannata heittää loputtomasti.

    Vedonlyöntikaavassa on yksinkertaisesti kyse siitä, että jos arvioimasi todennäköisyys voitolle p on suurempi kuin kertoimien antama todennäköisyys, kannattaa satsata osa omaisuudesta. Eli kun

    p>qb.p> \frac{q}{b}.

    Kun lyöt vetoa vain osan pääomastasi, et joudu ikinä konkurssiin. Vedonlyönnissä on tietysti minimipanoksia, ja p voi olla vaikeaa arvioida oikein. Shannonin informaatioteoria liittää markkinat ja vedonlyönnin luontevasti entropiaan, yhteisinformaatioon ja Shannonin kanavakoodauslauseeseen. Jos haluamme, voimme
    tulkita kohinaisen kanavan vedonlyöntimarkkinaksi, pääoman kertyneeksi dataksi, ja vedonlyöntistrategian koodaukseksi.
    Pääoman kasvuvauhti vastaa jossain mielessä vedonlyöjän ja markkinan yhteisinformaatiota, Shannonin informaatiokanavan ristientropiaa. Jos on täydellinen sisäpiiritieto, entropia on minimissä, jos taas sisäpiiritieto on arvausta, kanavan entropia on maksimissa. Tehokkailla markkinoilla siis entropia maksimoituu, ja
    arbitraasikeinottelijat luovat entropiaa markkinoille.

    Matemaattisesti Kellyn kriteeri vastaa odotusarvoisen logaritmisen varallisuuden maksimointia. Sen tulkinta on mielenkiintoinen sijoitussalkun optimoinnin valossa. Kun tavallisessa Markowitz-optimoinnissa voimme ajatella optimointitehtävän salkun tuoton keskiarvon kiinnityksellä salkun varianssin minimointina, Kellyn kriteeri yleistää tämän. Logaritmin Taylor-kehitelmä antaa ei-normaalisille tuotoille korkeampia kriteerejä kuin kakkosmomentti (varianssi), tällöin pitäisi optimoida myös jakauman vinoutta sekä ainakin huipukkuutta. Taloustieteellisesti kyse on odotetun hyödyn teoriasta, kun sijoittajan hyötyfunktio on täsmälleen logaritminen. Tulokset voidaan yleistää CRRA-hyötyfunktioille. Normaali sijoitussalkun tuoton optimointi perustuu oletukselle neliöllisestä hyötyfunktiosta. Bernoulli mietti aikanaan asiaa geometrisen keskiarvon kautta jo 1700-luvulla. Kellyn kriteeri maksimoin myös sen.

  • Laskettavuudesta ja tekoälystä

    Laskettavuudesta ja tekoälystä

    Suurten kielimallien nopea kehitys sekä AI:n nopea kehitys herättävät kysymyksiä. Teknologian kehitys laajemmin on talouskasvun välttämätön edellytys. Teknologinen kehitys on kiihtynyt, ja se lähti vauhtiin toden teolla 1600-luvulla. Tieteellinen kehitys on teknologisen kehityksen ehdoton edellytys, mutta toisaalta innovaatioihin on aina tarvitty määrätty määrä hullua neroutta. Tekoälykeskustelussa helposti spekuloidaan jo supertekoälystä, mutta usein kuitenkin kannattaisi pitää jalat maassa. Tekoälyn valtaparadigma perustuu tilastolliseen päättelyyn ja numeriikkaan. Kyse on pohjimmiltaan ”monimutkaisesta regressioanalyysistä”.

    Tekoälyn paradigmoista kiistellään, enkä itse usko, että suuret kielimallit johtavat yleiseen älykkyyteen (Artificial General Intelligence, AGI). Singulariteetti (tekoäly kehittää itseään mielivaltaisen nopeasti, John von Neumann) on kaukana, mutta toisaalta suuret kielimallit kyllä auttavat jo nyt matematiikassa ja tieteessä. En siis millään muotoa halua väheksyä suuria kielimalleja.

    Haluan esittää kuitenkin vaihtoehtoisen näkemyksen AGI:n kehityksestä. Nobel-fyysikko Roger Penrose (1931-) haastoi AI:n jo 1980-luvulla väittämällä, että ihmismieli on ylilaskennallinen. Näin ollen mikään LLM-malli ei kykenisi ihmismielen tasolle, ikinä. Argumentti on monimutkainen, mutta perustuu oleellisesti oletukselle siitä, että ihmisen mieli ja tietoisuus on enemmän tai jotakin muuta kuin tietokone, Turingin kone tai formaali automaatti, joka tekee rekursiolaskentaa äärellisillä säännöillä ja aksioomilla. Tämän argumentin esitti ilmeisesti ensimmäiseksi John Randolph Lucas (1929–2020), brittifilosofi, vuonna 1961 paperissaan ”Minds, Machines and Gödel”. Argumenttia on kritisoitu, mutta emme mene nyt sen filosofiseen kritiikkiin.

    Gödel Lucas’n argunmentissa viittaa maailmanhistorian suurimpaan loogikkoon, matemaatikko Kurt Gödeliin (1906-1978). Itävaltalainen Gödel on tullut tunnetuksi matemaattisen logiikan tuloksistaan, mm. epätäydellisyystulosten saralla. Avaan teemaa hiukan alla.

    Voimmeko koskaan ymmärtää maailmamme kokonaisuutta? Mitkä ovat tiedon rajat?

    Yksi tapa lähestyä tätä on pitää ymmärryksemme järjestelmää muodollisena ja konsistenttina järjestelmänä (teoriana), jolla on omat aksioomansa ja teoreemansa. Voimmeko todistaa kaikki teoreemat oman järjestelmämme tai kognitiomme sisältä?Yleisesti vastaus on ei (Gödel 1931). Löyhästi ajatellen syy on se, että järjestelmämme ei pysty simuloimaan itseään. Maailmassa on enemmän totuuksia kuin laskettavia tapoja niihin pääsemiseksi. Jos yritämme lisätä uusia tapoja tai aksioomia, syntyy uusia platonisia totuuksia – totuuksia, joita ei voida todistaa edes laajennetun järjestelmän sisältä. Se on kuin yrittäisi nostaa itseään ilmaan hiuksistaan vetämällä.

    Entä jos otamme huomioon kaikki mahdolliset aksioomat? Silloin meillä ei enää ole teoriaa, vaan maailma itse. Asioiden ykseys saattaa ymmärtää itseään, mutta tämä on jo teologista katsantokantaa. Luulen, että olemassa on eräänlainen mielen tila mahdollisuuksista a priori, joka syntyy järjestelmän aksioomien kompleksisuudesta. Kuvittele järjestelmä, joka koostuu algoritmeista. Jos esimerkiksi luettelemme kaikki yksinkertaiset funktiot järjestelmässä, voimme aina ottaa tuon listan ja luoda siitä yksinkertaisen variaation. Kieli (luonnollinen tai matemaattinen) antaa meille siis tavan huijata. Luonnollinen kieli ja muodolliset järjestelmät ovat siksi yleensä epätäydellisiä.

    Emme voi olla täysin kattavia omassa järjestelmässämme. Laskennan sääntöjen puitteissa on mahdotonta laatia täysin kattavia ja lueteltavissa olevia listoja jne. Rajaa voi aina työntää vähän pidemmälle.

    Ajattele lausetta, joka määrittelee objektin:


    ”Lyhin Berryn paradoksi, jota ei voi määritellä kymmenellä sanalla.”

    Keksin tämän version alkuperäisestä Berryn paradoksista, kun pohdin Gregory Chaitinin epätäydellisyysteoreeman tulkintaa. Julistan tavallaan objektin, joka on luonteeltaan paradoksaalinen. Tietenkään en voi määritellä monimutkaisia objekteja yksinkertaisilla säännöillä – siinä on paradoksin ydin. Formaalisti tämä vastaa sitä, että aksioomien kompleksisuus ei voi todistaa minkään annetun totuuden Kolmogorovin kompleksisuutta. Emme siis tavallaan voi tunnistaa monimutkaisia objekteja yksinkertaisilla säännöillä. Paradoksin esitti Bertrand Russell, mutta se tunnetaan Oxfordin kirjastonhoitajan Berryn mukaan.

    Alkuperäinen paradoksi löytyy täältä:


    https://en.wikipedia.org/wiki/Berry_paradox

    Tulkinta voisi olla suunnilleen tällainen:

    Emme voi ilmaista tai todistaa monimutkaisia asioita yksittäisistä entiteeteistä yksinkertaisilla säännöillä tai aksioomilla – kielemme (luonnonlait tai luonnollinen kieli) on liian pieni verrattuna maailman kokonaisuuteen. Kolmogorovin kompleksisuuden näkökulmasta satunnaislukuja ei voi generoida millään lyhyellä deterministisellä algoritmilla. Satunnaisluvut siis sisältävät tavallaan maksimaalisen määrän informaatiota sisällään, jota ei voi pakata.

    Fysiikassa voimme sanoa, että fyysinen laki on lausuma tilanteesta (sääntö, jolla todellisuutta voidaan toistaa), mutta koska tietty todellisuus voi olla monimutkainen, emme voi helposti tunnistaa uutta fyysistä lakia, joka johtaisi havaittuun monimutkaiseen universumiin, jos aksioomamme ovat yksinkertaisia. Ja jos fysiikkamme muuttuu monimutkaisemmaksi (universumi, jossa on enemmän sääntöjä tai aksioomia), totuudet pysyvät kätkeytyneinä.

    Mitä suurempi on tiedon meri, sitä pidempi on tietämättömyytemme rantaviiva. Jos todellakin on aina olemassa entiteettejä, joiden kompleksisuus on niin korkea, että emme voi aksioomiemme avulla määrittää niiden korkeaa kompleksisuutta, kokonaisuus on olennaisesti *meidän näkökulmasta* satunnainen siinä mielessä, että kausaaliset lait eivät riitä niiden kuvaamiseen. Tämä puolestaan viittaa siihen, että instrumentalismi on järkevää. Satunnaisuus on efektiivisesti tiedon poissaoloa. Hyvät teoriat ovat kuitenkin mahdollisimman yksinkertaisia ja ennustavat otoksen ulkopuolella mahdollisimman hyvin. (Oleellisesti tiedon pakkaamista tehokkaalla pakkausalgoritmilla) Tämä on Leibnizin riittävän perusteen periaate.

    Ongelma on, että emme voi luoda täydellistä järjestelmää matalalla kompleksisuudella/informaatiomäärällä, koska maailma on monimutkainen. Siksi induktio ja päättely ovat välttämättömiä. Paras malli asioiden kokonaisuudesta on asioiden kokonaisuus itse. Jos emme periaatteessa voi todistaa tämän maailman faktoja kielestämme ja logiikastamme, meillä on olennaisesti vapaan tahdon illuusio, joka on armo.

    Ergo, aivot eivät ole pelkkä tietokone, ja AGI olemme me.

    Lucas argumentoi näin:

    Kone (kyberneettinen mekanismi, Turingin kone, tietokone) toimii kiinteiden sääntöjen mukaan – se on konkreettinen ilmentymä muodollisesta järjestelmästä. Jos mieli olisi tällainen kone ja konsistentti (kykenevä suorittamaan yksinkertaista aritmetiikkaa luotettavasti), voisimme rakentaa sille sen Gödelin lauseen G.

    Kone ei voisi tuottaa (eikä todistaa) G:tä todeksi, koska G on järjestelmän sisällä todistamaton. Ihmismieli sen sijaan (seisomalla järjestelmän ulkopuolella) kykenee ”näkemään”, että G on tosi, seuraten Gödelin päättelyä. Siksi on olemassa jotain, mitä ihmismieli voi tehdä (tunnistaa G:n totuus), mutta mitä tämä tietty kone ei kykene tekemään.

    Jokaiselle ehdotetulle koneelliselle mallille mielestä voimme aina rakentaa uuden Gödelin lauseen, jossa kone epäonnistuu, mutta jonka mieli kykenee käsittämään.

    Tästä seuraa: ”Mikään kone ei voi olla täydellinen tai riittävä malli mielestä… mielet ovat olennaisesti erilaisia kuin koneet.”

    Mieli on ”elävä” ja kykenee aina ”menemään askeleen edelle” mitä tahansa kiinteää, ”kuollutta”, sääntösidonnaista muodollista järjestelmää.

    Penrosen ja Lucas’n tapaan uskon, että aivot ovat tietokone, antenni, radio. Sielu asuu jossakin muualla, ja se antaa syötteitä aivoille. Meidän maailmamme näkökulmasta sielu on satunnaislukugeneraattori, koska emme voi palauttaa sielun syötteitä kausaalisisiin lakeihin. Sielu on aivoille eksogeeninen shokki. Kokonaisuus aisteineen on sitten, mitä kutsumme tietoisuudeksi. Itse asiassa Gödel ajatteli myös suunnilleen samoin.

    Lainaan Gödeliä:

    ”Epätäydellisyysteoreema johtaa suurella todennäköisyydellä siihen, että mieli ei ole mekaaninen, tai sitten mieli ei voi ymmärtää omaa mekanismiaan. ”

    Lainaus on kirjasta Wang, Hao: A Logical Journey, From Gödel to Philosophy. MIT Press 1996.

    En siis usko LLM-mallien johtavan AGI:in, mutta aika tietysti näyttää, kuka on oikeassa.

    Gödel muuten ”todisti” myös jumalan olemassaolon toisen kertaluvun modaalilogiikalla vuonna 1970. Todistus on mukavaa harjoitusta, jos pitää matemaattisesta tai filosofisesta logiikasta. Se on alla, joskin siinä on elementtejä Descartes’n todistuksesta, mutta Descartes ei tuntenut toisen kertaluvun modaalilogiikkaa.


  • AI and deep neural network learning using optimal control and Pontryagin’s maximum principle

    AI and deep neural network learning using optimal control and Pontryagin’s maximum principle


    This short post bridges the gap between optimal control theory and continuous-time deep learning optimization landscapes. Starting from a specialized Bolza optimal control formulation containing a time-varying hyperbolic discount factor, we derive the exact system dynamics using Pontryagin’s Maximum Principle.

    We prove that the resulting first-order conditions collapse into a single, non-linear second-order ordinary differential equation (ODE) governing the evolution of the state vector. Interpreting the state vector as the parameter weights of a deep neural network and the potential function as a non-convex loss function, we show that the optimal control trajectory naturally yields a scheduled adaptive-momentum optimizer. This optimizer exhibits an inherent phase shift: early-stage anti-damping for saddle-point and local-minima escape (exploration), followed by late-stage positive damping for stable asymptotic convergence (exploitation).

    Deep neural network optimization relies heavily on momentum-based gradient algorithms to navigate highly non-convex, high-dimensional loss surfaces. While empirical schedulers for learning rates and momentum coefficients are widely used, deriving these schedules from first-principle physics or control problems offers valuable insights into accelerated convergence guarantees. This letter analyzes an optimal control problem whose continuous-time boundary conditions naturally generate a dynamic exploration-to-exploitation optimization schedule.

    This short letter proposes a theoretically motivated continuous-time optimizer for deep neural networks by bridging optimal control theory (Pontryagin’s Maximum Principle) with non-convex optimization landscapes. It derives a momentum-like second-order ODE with a time-varying friction/damping coefficient based on a hyperbolic discount factor. The result is a scheduled adaptive-momentum method with built-in exploration-to-exploitation transition.

    The model

    Consider a deep neural network with some set of parameters aggregated into a state variable:

    x(t)∈ℝn.x(t) \in \mathbb{R}^n.

    representing a neural network parameter vector governed by the linear kinematic control system:

    x˙(t)=v(t)\dot{x}(t) = v(t)


    where

    v(t)∈ℝnv(t) \in \mathbb{R}^n

    is the chosen control vector (velocity). This control vector steers the learning process using an initial position

    x(τ).x(\tau).

    Let

    L(x):ℝn→ℝL(x): \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}

    represent a smooth, non-convex objective or loss function of this deep neural network.

    We define the objective functional over the time horizon

    t∈[τ,T]t \in [\tau, T]

    as:

    minv⁡∫τTe∫τttanh⁡(s−a)ds(12m|v(t)|2−L(x(t)))dt\min_{v} \int_{\tau}^{T} e^{\int_{\tau}^{t} \tanh(s-a)\,ds} \left( \frac{1}{2}m|v(t)|^2 – L(x(t)) \right) dt


    where

    m>0m > 0

    is a scalar constant representing virtual mass or inertia, and

    a∈(τ,T)a \in (\tau, T)

    is a fixed temporal reference parameter. The idea is to minimize the classical Lagrangian, but with a time-dependent discount factor. This is to introduce some greedy properties in the beginning of the search, and ultimately to try to establish stability through dissipation in the end. Hyperbolic tangent seems appropriate, as it flips signs nicely and has some nice properties.

    Derivation of First-Order Necessary Conditions

    We use Pontryagin. Start with simplification of the temporal discount factor:

    Evaluating the internal scalar integral yields:

    ∫τttanh⁡(s−a)ds=[ln⁡(cosh⁡(s−a))]τt =ln⁡(cosh⁡(t−a))−ln⁡(cosh⁡(τ−a))\begin{align} \int_{\tau}^{t} \tanh(s-a) \, ds &= \Big[ \ln(\cosh(s-a)) \Big]_{\tau}^{t} \nonumber \ &= \ln(\cosh(t-a)) – \ln(\cosh(\tau-a)) \end{align}



    Exponentiating this result allows us to express the discount factor explicitly as:

    eln⁡(cosh⁡(t−a)cosh⁡(τ−a))=cosh⁡(t−a)cosh⁡(τ−a).\begin{equation} e^{\ln\left(\frac{\cosh(t-a)}{\cosh(\tau-a)}\right)} = \frac{\cosh(t-a)}{\cosh(\tau-a)}. \end{equation}

    We drop the constant and write:

    γ(t)=eln⁡cosh⁡(t−a)\gamma(t)=e^{\ln{\cosh{(t-a)}}}

    Hamiltonian Formulation

    Let us use Pontryagin’s maximum principle to this problem to derive the necessary conditions.


    Let

    p(t)∈ℝnp(t) \in \mathbb{R}^n

    be the costate vector associated with the system dynamics. The system Hamiltonian is formulated as:

    ℋ(x,v,p,t)=γ(t)(12m|v|2−L(x))+pTv.\begin{equation} \mathcal{H}(x, v, p, t) = \gamma(t) \left( \frac{1}{2}m|v|^2 – L(x) \right) + p^T v. \end{equation}


    According to Pontryagin’s Maximum Principle, the first-order optimality condition requires :

    ∇vℋ=0.\nabla_v \mathcal{H} = 0.
    γ(t)mv(t)+p(t)=0⟹v(t)=−p(t)mγ(t)\begin{equation} \gamma(t) m v(t) + p(t) = 0 \implies v(t) = -\frac{p(t)}{m\gamma(t)} \end{equation}



    The adjoint equation dictates the continuous-time evolution of the costate vector:

    p˙(t)=−∇xℋ=γ(t)∇L(x).\begin{equation} \dot{p}(t) = -\nabla_x \mathcal{H} = \gamma(t) \nabla L(x). \end{equation}



    Assuming a free terminal state

    x(T)x(T)

    the system is bounded by the standard transversality condition:

    p(T)=0.\begin{equation} p(T) = 0. \end{equation}

    The Nonlinear Second-Order Optimization ODE


    To map this physical system directly to an optimization algorithm, we eliminate the costate vector

    p(t),p(t),

    to obtain a single second-order ordinary differential equation (ODE) in terms of

    x(t).x(t).

    As from the costate yields:

    p(t)=−mγ(t)x˙(t)\begin{equation} p(t) = -m\gamma(t)\dot{x}(t) \end{equation}


    Differentiating this equation with respect to time via the product rule results in:

    p˙(t)=−mγ˙(t)x˙(t)−mγ(t)x¨(t).\begin{equation} \dot{p}(t) = -m\dot{\gamma}(t)\dot{x}(t) – m\gamma(t)\ddot{x}(t). \end{equation}


    Differentiating the explicit discount factor from equation gives:

    γ˙(t)=sinh⁡(t−a)\begin{equation} \dot{\gamma}(t) = \sinh{(t-a)} \end{equation}


    Substituting gamma back into equation (10) results in:

    p˙(t)=−msinh⁡(t−a)x˙(t)−mcosh⁡(t−a)x¨(t).\begin{equation} \dot{p}(t) =- m\sinh{(t-a)}\dot{x}(t) – m\cosh{(t-a)}\ddot{x}(t). \end{equation}


    Equating this to the costate dynamics defined by the Maximum Principle in equation isolates the continuous-time parameter trajectory:

    mcosh⁡(t−a)x¨(t)+msinh⁡(t−a)x˙(t)=−cosh⁡(t−a)∇L(x).\begin{equation} m\cosh{(t-a)}\ddot{x}(t) + m\sinh{(t-a)}\dot{x}(t) = -\cosh{(t-a)}\nabla L(x). \end{equation}


    Dividing the entire equation by the hyperbolic cosine yields our central governing optimization system:

    x¨(t)+tanh⁡(t−a)x˙(t)=−1m∇L(x(t)).\begin{equation} \ddot{x}(t) + \tanh(t-a)\dot{x}(t) = -\frac{1}{m}\nabla L(x(t)) . \end{equation}

    This is essentially Heavy Ball with time-dependent friction, and as such it is a nonlinear system of ODEs.

    Algorithmic Interpretation in Non-Convex Optimization


    The governing equation represents a momentum-driven generalized gradient system containing a time-varying friction coefficient :

    c(t)=tanh⁡(t−a).c(t) = \tanh(t-a).

    The mathematical profile of yields three distinct algorithmic behaviors across the training timeline:

    The exploration phase:

    t<at < a

    Here,

    c(t)<0c(t) < 0

    inducing a negative damping (anti-friction) effect. The algorithm actively pumps kinetic energy into the velocity vector, enabling parameter trajectories to aggressively climb out of shallow local minima and pass through strict saddle points.

    The system injects energy, amplifying velocity. This promotes escape from local minima/saddles and exploration in the highly non-convex early landscape. Mathematically, it’s like an inverted damper pumping oscillations.


    Inflexion transition

    t=a.t = a.

    At this moment,

    c(t)=0.c(t) = 0.

    The algorithm exhibits pure Newtonian inertia, allowing maximal velocity traversal across flat structural geometries or barren plateaus. Pure inertial (Newtonian) motion. Useful for crossing flat regions or plateaus with maximal momentum.


    Exploitation Phase

    t>a,t > a,
    c(t)>0.c(t) > 0.

    introducing structural positive damping. The algorithm bleeds kinetic energy, smoothly stabilizing oscillations and ensuring rigorous convergence to high-quality local minima as

    c(t)→1c(t) \to 1

    Positive damping. Energy dissipates, stabilizing convergence to a local minimum (exploitation). The stability follows.

    Stability

    It is easy to see that as t>a, the damping factor remains positive and using the Lyapunov method with total mechanical energy, the system is stable.

    Conclusion


    We have successfully mapped a Bolza optimal control problem into a second-order nonlinear ODE tailored for optimization over non-convex neural network topologies. Future work will explore empirical benchmarks of the proposed algorithm against classical Nesterov acceleration schemes. This letter provides a new optimal control approach to Heavy Ball with friction.

  • Sananvapaus ja vapaus ennakkosensuurista – oikeusvaltion välttämätön ehto

    Sananvapaus ja vapaus ennakkosensuurista – oikeusvaltion välttämätön ehto

    Aatehistoriallisesti länsimainen yhteiskunta on ollut 1900-luvun loppuun saakka ylivoimainen. Länsimainen yhteiskunta ja eurooppalainen sivistys rakensivat muun muassa idean amerikkalaisesta vapaudesta, idean vapaudesta, veljeydestä ja tasa-arvosta. Euroopassa derivoitiin ja integroitiin jo 1600-luvulla. Sähkömagnetismin kenttäyhtälöt muotoiltiin 1860-luvulla, Adam Smith puolusti markkinataloutta ja markkinamekanismia jo 1700-luvun lopulla. Oikeusvaltion pohja luotiin jo 1600-luvulla. Kaikkia edellä listattuja innovaatioita yhdistää yksilön kyky ideoida ja sanoa vapaasti.

    Sananvapaus on yksi tärkeimmistä vapauden muodoista. Sanat edustavat ideoita, ja ideat kilpailevat ideoiden markkinoilla. Kun ideoiden annetaan kilvoitella vapaasti, huonot ideat karsiutuvat ja hyvät ideat selviytyvät jatkoon. Sananvapaus ja tieteellinen metodi ovat serkuksia. Huonot ideat, kuten totalitarismi ja kommunismi ja sosialismi haluavat rajoittaa sananvapautta. Tämä johtuu siitä, että kyseiset ideologiat eivät kestä kilpailua vapailla ideoiden markkinoilla.

    Tieteenfilosofi Karl Popper (1902-1994) suosi sananvapautta ja avointa yhteiskuntaa. Popperin näkökulmasta tiede on prosessina evolutiivinen. Tiede lähtee arvauksista, jotka eivät välttämättä pohjimmiltaan perustu havaintoihin. Arvauksista muodostetaan tieteellinen malli, josta voidaan johtaa deduktiivisia väitelauseita. Tieteellinen malli koostuu universaalilauseista, ideaalitilanteessa se on aksiomaattinen järjestelmä, hieman kuten matematiikka. Deduktiiviset teorian seuraukset, eli peruslauseet, asetetaan sitten koeteltaviksi empiirisesti. Tieteellinen teoria ja yksilön mielipide tai idea ovat samankaltaisia olioita. Ne kilpailevat vertaistensa kanssa, ja evoluutio karsii huonot ideat pois.

    Jos teoriasta johdetut seurauslauseet kestävät testit ja niitä ei osoiteta vääriksi havaintojen perusteella, voidaan tieteelliseen malliin olla tyytyväisiä. Popperin tiede ei ole milloinkaan se lopullinen totuus, vaan kulloinenkin tieteellinen malli on parasta, mitä tieteellinen evoluutio on pystynyt tuottamaan. Tiede on siis luonteeltaan dynaaminen prosessi, eikä vain joukko staattisia olioita. Popper ratkaisee tieteen demarkaatio-ongelman asettamalla tieteen keskeiseksi kriteeriksi juuri falsifioinnin. Tieteellisen teorian tulee olla sellainen, että se on ainakin periaatteessa falsifioitavissa.

    Popperin analyysin ydin falsifioitavuudessa perustuu seuraavaan: Induktion ja deduktion välillä vallitsee erityinen epäsymmetria, koska vääräksi osoittaminen vaatii periaatteessa vain yhden vastaesimerkin, kun taas väitelauseen oikeaksi osoittamiseen eivät riitä suuretkaan määrät positiivisia havaintoja. Siksi tieteessä malleja ei välttämättä johdeta suoraan havainnoista, vaan esimerkiksi fysiikan perusteoriat voidaan johtaa myös eräänlaisella esteettisellä intuitiolla. Popper puhuu tässä yhteydessä ”arvauksista” tai ”konjektuureista”. Toisaalta nämä konjektuurit voivat ainakin osin johtua siitä, että tutkija tekee päässään jonkinlaista induktiivista regressiota, josta johtaa teoriansa perusmallin tai universaalilauseen, kuten Popper niitä kutsuu.

    Popperin mukaan ilmiön kausaalinen kuvaaminen vaatii sekä universaalilain että alkuehdot. Tämä kuvaus kausaliteetista vastaa pitkälti matematiikassa ja fysiikassa differentiaaliyhtälöiden tai differenssiyhtälöiden malliavaruutta. Differentiaaliyhtälö kuvaa universaalilain ja yhtälön alkuehdot kiinnittävät ratkaisun. Universaalilaeista ja alkuehdoista
    päästään singulaarisiin väitteisiin, jotka voidaan asettaa testattaviksi. Esimerkiksi voisimme testata gravitaatiolakia heittämällä pallon ilmaan tietystä alkuasetelmasta ja mitata sen lentoaikaa ja laskeutumispaikkaa.

    Popperille tieteellinen malli on aksiomaattinen järjestelmä, jossa aksioomat muodostavat ristiriidattoman kokonaisuuden. Aksioomien tulee olla myös riippumattomia, eli aksioomia ei voi johtaa systeemin muista aksioomista. Aksioomien tulee olla myös välttämättömiä ja riittäviä siinä mielessä, että ne muodostavat mahdollisimman taloudellisen kokonaisuuden järjestelmän tarpeisiin. Aksioomat ovat mallin konventioita tai tieteellisiä hypoteeseja.

    Popper luokittelee järjestelmän väitelauseet universaalisuusluokkiin. Korkeimman universaliteetin aseman saavat juuri järjestelmän aksioomat. Deduktiivisesti johdetut väitelauseet kuuluvat matalampaan universaliteettiluokkaan. Deduktiivisten väitelauseiden falsifikaatio johtaa siten myös aksioomien falsifikaatioon normaalin propositiologiikan mukaisesti (modus tollens). Popperin keskeisen teesi on myös, että teorian empiirinen sisältö on sitä rikkaampi, mitä rajoittavampi teoria on. Toisin sanoen, jos teoria on periaatteessa helppoa falsifioida, sen empiirinen sisältöarvo on suuri, koska jos se tulee jatkuvasti verifioiduksi, sillä on keskeistä kerrottavaa esimerkiksi luonnonlakien näkökulmasta.

    Hyvän tieteellisen teorian kriteeristöön kuuluu Popperin mukaan myös yksinkertaisuus. Popper ei näe teorian yksinkertaisuutta kuitenkaan tarpeellisena niinkään esteettisistä syistä, vaan siksi että yksinkertainen teoria voidaan falsifioida helpommin. Mallin tai teorian yksinkertaisuus liittyy oleellisesti mallin parametrien lukumäärään. Hyvä teoria on yksinkertainen ja varustettu vähäisellä määrällä parametrejä.

    Falsifioitavuus ja deduktio ovatkin edelleen tieteenfilosofian kulmakiviä. Popper vaatii, että hyvät teoriat ovat
    yksinkertaisia ja että ne voidaan falsifioida. Ideaaliteoria muodostaa universaalin aksiomatiikan, josta johdettujen potentiaalisten falsifioitavien väitelauseiden joukko on mahdollisimman suuri. Siten hyvä tieteellinen teoria on sellainen, joka on erittäin altis koville testeille ja mittauksille. Jos malli selviää näistä testeistä, voidaan teorian katsoa olevan hyvä, toistaiseksi, kunnes parempi teoria kumoaa entisen. Hyvän teorian pitäisi olla siis yksinkertainen, mahdollisimman kaukana tautologiasta,
    ennustekykyinen, testattava ja selittää ilmiö mahdollisimman hyvin.

    Popperin tieteenfilosofinen ajattelu säteilee myös yhteiskuntafilosofiaan. Popper kritisoi Platonin ajatusta filosofikuninkaista. Samoin Popper kritisoi Hegelin determinismiä ja sovellettua hegelismiä, eli Karl Marxin ajatuksia. Historia ei predestinoi meitä mihinkään; tulevaisuus on avoin, ja yhteiskuntamme tulevaisuus on meidän omissa käsissämme. Tulevaisuuden ottaminen hallintaamme on siis kärjistäen suhteellisen riippumaton historiasta, voimme tehdä yksilöinä aktiivisia valintoja, ja yksilöiden päätökset viime kädessä määräävät sen, mihin suuntaan maamme menee. Tähän prosessiin *aivan erityisesti* tarvitaan sananvapautta.

    Sananvapauden rajoittamiseen liittyy usein kollektivistinen yhteiskuntakäsitys. Ajatellaan, että valtiovalta tietää ja pystyy ennakoimaan, mihin määrätty sanankäyttö voi johtaa. Tämä on virheellinen ajattelutapa; valtion kyky ennakoida tulevaa on olematon. Yksilöt muodostavat ainoita oikeita ja järkeviä näkemyksiä tulevaisuudesta. Jos rajoitamme sananvapautta, rajoitamme sellaisia perusoikeuksia, jotka ovat eurooppalaisen sivistyksen ytimessä. Iso osa kehityksestämmme, oli sitten kyse talouskasvusta, tieteestä tai taiteesta, perustuu ideoiden vapauteen. Kollektivismissa ylimielisesti oletetaan, että yksilön vapaus voidaan uhrata suuremman hyveen alttarille. Intellektuaalisessa mielessä kyse on siitä, miten yhteiskunta voi laskea kokonaishyvinvoinnin paremmin, ja tietää yksilöitä paremmin kokonaishyvinvoinnin yhteiskunnassa. Yhteiskunta kun kuitenkin koostuu juuri yksilöistä. Komentotalous ja sananvapauden rajoittaminen ovat toistensa duaalipareja. Markkinatalous ja sananvapaus taas ovat luontevat parit toisillensa.

    Rajoittavat yhteiskunnat eivät anna yksilöille mahdollisuuksia ilmaista itseään taikka kehittää yhteiskuntaa. Berliinin muuri rakennettiin, koska sananvapautta ei ollut. Ihmiset halusivat kurjuudesta pois, ja poistuminen estettiin muurilla. Myös sanoja voidaan kahlita muureilla, mutta totuus tulee aina läpi; se kasvaa kuin horsma betonissa.

    On huomattava, että sananvapauden ja ideoidenvapauden täytyy olla niin laajaa, että se aiheuttaa myös loukkaantumisia ja ikäviä asioita. Juuri se on sananvapauden ytimessä. Muutoin Isoveli määrittelee meille, mistä on sopivaa puhua. Siksi uskonrauha ja kiihottaminen kansanryhmää vastaan ovat erikoisia termejä oikeusvaltion lainsäädännössä. Kaikkea pitää voida kritisoida vapaassa yhteiskunnassa avoimesti. Mauttomuus ja junttius sekä sivistymättömyys kuuluvat sananvapauden ytimeen. Kollektivistisestä keskusohjauksesta tulee siirtyä kantilaisiin maksiimeihin – on simuloitava asioita peliteoreettisesti. Kultainen sääntö ja Kantin kategorinen imperatiivi ovat peliteoreettisia maksiimeja.

    Älä rajoita sananvapautta, ellet halua viedä vapautta lopulta myös itseltäsi.

  • Rahan taloustiede 1800-1950

    Rahan taloustiede 1800-1950

    Taloustiede on muuttunut luonteeltaan melko tavalla matemaattiseksi, ja nykyisin valitettavasti iso osa julkaistusta taloustieteestä on karkeistaen sovellettua tilastotiedettä tai ekonometriaa. J.M. Keynes (1883-1946) jo aikoinaan epäili ekonometrian sovellettavuutta monimutkaisen talousmaailman ymmärtämisessä. Nykyisin ennustamiseen kannattaakin varmasti käyttää syviä neuroverkkoja, joissa on satoja miljardeja parametreja.

    Talouden ymmärtäminen on tärkeätä, sillä talouden ymmärtäminen auttaa talouspolitiikan vallankäyttäjiä tekemään parempaa politiikkaa. Tieteessä tämä tapahtuu niin, että muodostetaan mitattava ja testattava teoria, ja empiirisesti joko falsifioidaan se taikka verifioidaan se. Taloustiede on toki hyödyllistä myös liiketalouden saralla, esimerkiksi rahoituksen taloustiedettä tarvitaan eri rahoitusvaateiden hinnoittelussa ja portfolioiden hajauttamisessa ja niin edelleen.

    Jos ajattelemme, että taloustiede syntyi Adam Smith’n (1723-1790) kirjoitusten myötä, rahatalouden saralla keskeisiä taloustieteellisiä ajattelijoita on ollut mittava joukko jo ennen toista maailmansotaa. Pidän toista maailmansotaa taitekohtana, koska sen jälkeen taloustieteen formalismi lisääntyi nopeasti.

    Henry Thornton (1760–1815) oli ensimmäisiä rahaekonomisteja, hän oli parlamentaarikko ja pankkiiri, UK:ssa. An Enquiry
    into the Nature and Effects of the Paper Credit of Great Britain     (1802) oli hänen keskeisin rahateoreettinen kontribuutionsa. Thornton on modernin keskuspankkitoiminnan intellektuaalinen isähahmo. Hän keksi, että rahan määrää säätelemällä keskuspankki voi kontrolloida hintatasoa. Monetarismissa kokeiltiin myöhemmin rahamäärän targetointia, mutta se ei toiminut kovin hyvin. Nyt targetoidaan suoraan kuluttajahintaindeksiä.

    Thornton käsitteli myös mm. lender of last resort -funktiota keskuspankille. Eurojärjestelmässä tämä funktio tunnetaan lyhenteellä ELA (Emergency Liquidity Assistance). Samoin hän tunnisti jo varhain sen, että pankkien diskontto luo talletuksia tai että antolainaus luo talletuksia, ja siten uutta rahaa ja ostovoimaa. Walter Bagehot (1826-1877) myöhemmin kehitteli keskuspankkiteoriaa ja lender of last resort -funktiota kirjassaan Lombard Street. Bagehot (lausutaan Bädtset) suositteli hätälikviditeettiä vain solventeille pankeille, riittäviä vakuuksia vastaan.

    Thornton keksi myös eräänlaisen investointiteorian, luonnollisen korkotason ja markkinakoron erotuksen perusteella. Samaa logiikkaa hyödynsivät mm. ruotsalainen Knut Wicksell (1851-1926) ja J.M. Keynes. Brittinobelisti John Hicks (1904-1989) muotoili teemasta modernin sisäisen korkokannan investointikriteerin 1930-luvulla. Keynesin suurteoksessa tämä sama teema toistui ikään kuin duaalina: investoinnit luovat kansantalouden säästöt, jolloin I=S pitää aina identiteettinä. Tähän tarvitaan kerroinanalyysiä, jonka Keynes lainasi tovereiltaan Cambridgessä 1930-luvun alussa (Kahn).

    Skottilainen pankkiiri ja ekonomisti Henry Dunning Macleod (1821–1902) kirjoitti samoin jo 1850-luvulla pankkien kyvystä luoda talletusrahaa antolainauksellaan. Taloustieteilijä ja Itävallan lyhytaikainen valtiovarainministeri Josef Schumpeter (1883-1950) kirjoitti jo vuonna 1911 laajalti klassikkoteoksessaan siitä, kuinka pankkien antolainaus lainaa ostovoimaa tulevaisuudesta, ja luo talletuksia kotitalouksille ja yrittäjille. Schumpeterin analyysi on melko hyvin aikaa kestävä, kirjassa analysoidaan myös reaalivaateiden doktriinin relevanssia (tässä doktriinissa antolainaus pitäisi kohdistua vain tuotantoon, jotta kuplilta ja inflaatiolta vältyttäisiin). Thornton vastusti tätä real bills -doktriinia.

    Saksanjuutalainen pankkiiri, oikeustieteilijä ja taloustieteiljä Albert Hahn (1889-1968) kirjoitti suurteoksen Volkswirtschaftliche Theorie des Bankkredits (1920), jossa hän kuvaili laajasti sitä, miten pankkien luotonanto on keskeisessä osassa myös suhdannevaihteluita. Hahn joutui pakenemaan natseja Yhdysvaltoihin, ja hänet tunnetaan myös siitä, kuinka hän väitti ennakoineensa Keynesin oleelliset teoriat jo ennen Keynesiä. Myös brittiläinen Ralph Hawtrey (1879-1975) kirjoitti paljon rahatalouden vaikutuksesta suhdanteisiin.

    Itävaltalaisen taloustieteen jättiläiset Ludwig von Mises (1881-1973) sekä talousnobelisti Friedrich von Hayek (1899-1992) lähtivät myös siitä, että luotonluonti pankkijärjestelmässä voi johtaa suhdannevaihteluihin rahapolitiikan vuoksi. Jos korkotaso on liian alhainen, yritykset investoivat liikaa huonoihin hankkeisiin, ja resurssien allokaatio menee reisille. Tässäkin taustalla oli Thorntonin rahateoria ja luontainen korkotaso.

    Keynes oli jo Macmillanin komiteassa vuonna 1931 käsitellyt laajasti rahanluontiprosessia pankkijärjestelmässä (lainat synnyttävät talletuksia). Yleisessä teoriassa (1936) Keynes otti kannan, jonka mukaan rahoitus on jossakin mielessä triviaalia, se löytyy kyllä, kunhan tahto investoida on olemassa. Tätä Keynes selvensi vielä vuonna 1937 kirjoituksissaan ja kommentaareissaan. Keynesin aiemmissa teoksissa käsiteltiin enemmän rahaa, mutta Yleisessä teoriassa Keynes ehkä päätyi tulkintaan, että investointipäätös ja kulutuspäätös on kaikki kaikessa (joita ohjaavat eläimelliset vaistot ja knightiläinen epävarmuus). Joka tapauksessa ekonomistit miettivät rahaa, paljon ennen sotia.

    Pankkiteoria ja rahateoria nykyisin on akateemisella puolella aika erilaista. Kun itse kävin tohtoritason pankkiteorian kurssia Barcelonan yliopistossa vuonna 2010, siellä olennaiset sisällöt koskivat lähinnä talletussuojaa ja toisaalta pankkitoimintaa delegoituna monitorointina. Jääkö metsä näkemättä puilta?

    Nämä mikroteoreettiset näkökulmat ovat toki tärkeitä, mutta pankkien antolainaus on keskeinen makromuuttuja. Pankkijärjestelmä ja rahamarkkinat olisi syytä nähdä elastisena ja endogeenisena verenkiertojärjestelmänä, joka voitelee samalla kansantalouden konetta. Raha ja velkasuhteet selvitetään pankkijärjestelmässä ja raha on olennaisesti velkaa. Raha ja rahamarkkinainstrumentit ovat siis nykyisin talletuksia ja lyhyitä diskonttopapereita.

    Pankkijärjestelmän likviditeetin takaamiseksi on luotu keskuspankki. Jos pankki A luo talletuksia tai vastaanottaa niitä, voi olla, että joku yritys tai kotitalous haluaa siirtää rahansa toiseen pankkiin. Normaalisti systeemi toimii niin, että pankin A talletusvelka korvataan velalla toiselle pankille. Toisen pankin B tase kasvaa, koska sille syntyy saatava pankilta A ja velka talletuksena kotitaloudelta. Jotta homma toimii, keskuspankki voi tarjota likviditeettiä, eli tarvittaessa pankki A voi lainata tuon summan ensin keskuspankilta, ja luovuttaa uudet pankkireservit pankille B. Pankki A jää tällöin velkaa keskuspankille, ja keskuspankki jää velkaa pankille B. Likviditeettiä yleensä löytyy, jos pankit ovat solventteja, mutta solvenssin määrittäminen on hankalaa, koska taseen saatavien arvo on vaikeaa määrittää. Siksi pankkijärjestelmällä on pääomavaatimukset, talletussuoja ja kriisinratkaisusäännöstö. Pankin taseessa voi nykyisin olla monimutkaisia välirahoitusinstrumentteja, kuten AT1-velkaa. Näiden kyky vastaanottaa tappioita on kuitenkin kyseenalainen. Muutama vuosi sitten Sveitsissä tosin AT1-haltijat menettivät saaatavansa isossa pankkijärjestelyssä /-kriisissä (Credit Suisse), mutta osakepääoma säilyi. Outo maksunsaantijärjestys.

    Pankkitoiminta on diskonttaamista. Esimerkiksi rahamarkkinoilla pankki voi ottaa vastaan lyhyen yritystodistuksen, ja hyvittää yrityksen tilin saldoa pienemmällä summalla. Näin ymmärrettynä pankkitoiminta on vain velkakirjojen vaihtoa. Samoin jos valtio kiikuttaa obligaation pankille, pankki diskonttaa sen, ja hyvittää valtion pankkitilin saldoa (Bondin voi replikoida sarjalla nollakuponkipaperia). Valtion bondit päätyvät pankeista usein institutionaalisten sijoittajien taseisiin (sormiharjoitus: mieti, miten tasekirjaukset toimivat tässä tapauksessa).

    Toinen huomionarvoinen seikka on, että rahamarkkinoilla esimerkiksi dollareita voidaan luoda autonomisesti myös USA:n oikeudenkäyttöalueen ulkpuolella. Riittää, kun joku pankki lainoittaa vaikka UK:ssa yritystä taaloissa. Toki silloin pankin kannattaa varmistaa, että sillä on pääsy dollarimääräisille repo-markkinoille tai dollarilikviditeettiin, esimerkiksi viime kädessä keskuspankkien swappien kautta. Finanssikriisissä FED pelasti monta pankkia likviditeettikonkurssilta lainoittamalla epäsuorasti ulkomaisia pankkeja taaloilla keskuspankkien kautta.

    Uusi antolainaus voi nostaa rahoitusvaateiden ja omaisuuserien arvoa ja luoda ostovoimaa=kysyntää, jolloin talouteen saattaa syntyä itseään ruokkiva noidankehä ja buumi. Pankit saattava hybriksessään luotottaa liikaa kaikkea liikkuvaa, kotitalouksia kulutusluotoin ja asuntolainoin, yrityksiä bondein ja yritysluotoin. Jos homma menee överiksi, pankkijärjestelmä ottaa hittiä, ja kirjaa luottotappioita omaa pääomaa vastaan. Tätä dynamiikkaa kuvasi myös Irving Fisher velkadeflaatioteoriassaan 1930-luvun alussa. Myös Richard Koo on kirjoittanut teemasta otsikon ”tasetaantuma” alla. Kirjoitan itse kattavasti teemasta omassa kirjassani ”Ohjaustalous vai näkymätön käsi”.

    Pankkien luotonantoa sääntelee toisaalta luottojen kysyntä ja tarjotut vakuudet ja rahoitettavan luottokelpoisuus, toisaalta korkotaso keskuspankista (investoinnit & kulutusalttius), toisaalta omat pääomat ja pääomavaatimusten sitovuus. Finanssikriisissä riskit aktualisoituivat. Sotien jälkeen pankkien roolista on kirjoittanut syvällisemmin ainakin amerikkalainen Hyman Minsky (1919-1996)sekä Perry Mehrling (1959-)(Money view). Mehrlingin pankkiteorian luentosarja on katsomisen arvoinen.

    Pankkitoimintaa kannatta pohtia, sillä se on makrotalouden ytimessä.

  • Ripa ruostuu – eli entropian merkitys

    Ripa ruostuu – eli entropian merkitys

    Lämpökuolema odottaa meitä. Fyysikot puhuvat entropiasta. Mitä se entropia sitten on? Se liittyy oleellisesti todennäköisyyteen. Informaation mielessä voimme tarkastella binääriluvuista rakennettua lukujonoa. Eli voisimme tarkastella lukujonoa, joka koostuu nollista ja ykkösistä. Lukujonon alkion entropiaksi voimme määritellä

    H=−p1log⁡(p1)−p2log⁡(p2)H=-p_1\log(p_1)-p_2\log(p_2)

    Jossa

    p1+p2=1p_1+p_2=1

    Kyse on odotusarvoisesta informaatiosta, jos miellämme informaatiomitaksi suureen:

    I=−log⁡(p)I=-\log(p)

    Eli satunnaismuuttujan informaatio liittyy sen yllätyksellisyyteen. Jos realisaatio on mahdoton, sen informaatiosisältö on ääretön, jos kyseessä on varma realisaatio, informaatiosisältö on 0. Entropia on odotusarvoinen informaatio. Jos otamme äärettömän pitkän satunnaisen (riippumattoman ja samoin jakautuneen) lukujonon nollia ja ykkösiä, lukujonon entropia on täsmälleen yllä esitetty. Nyt on selvää, että H maksimoituu, jos todennäköisyys saada 1 tai 0 on 1/2. Silloin lukujono on maksimaalisen satunnainen.

    Mitä tämä tarkoittaa intuitiivisesti? Se tarkoittaa sitä, että maksimientropiassa systeemi pyrkii jakamaan energian (energia on systeemin tila, tai 0 tai 1) mahdollisimman tasaisesti yli tila-avaruuden. Intuitiivinen esimerkki auttaa.

    Ajattele osakkeen hintaa satunnaisprosessina. Kun osakkeen hintaa ennustetaan pitkän aikavälin päähän, hinnan varianssi tai sen neliöjuuri, eli volatiliteetti kasvaa. Näin voimme ajatella, että systeemin entropia kasvaa ajan funktiona. Entropia on systeemiä koskevan tiedon poissaoloa. Fysiikassa tämä tarkoittaa löyhästi sitä, että kaikki lämpötilagradientit yms. sellaiset paine-erot häviävät. Kun gradientit häviävät, kyky tehdä työtä häviää. Voima tekee työtä, ja voima liittyy gradienttiin. Tätä kutsutaan lämpökuolemaksi. Sen takaa termodynamiikan toinen pääsääntö.

    Fysiikassa yksi tapa mitata systeemin gradientteja, on määritellä niin sanottu Dirichlet’n energia. Se on:

    E=12∫Ω||∇u||2dVE=\frac{1}{2}\int_{\Omega}||\nabla u||^2dV

    Lämpöyhtälö on tyypillinen esimerkki. Kun oletamme, että lämpövuo on gradientti lämpötilasta u, ja sovellamme Gaussin lausetta, saamme lineaarisen osittaisdifferentiaaliyhtälön:

    ∂u∂t=Δu\frac{\partial u}{\partial t}=\Delta u

    kerrotaan u:lla puolittain, ja integroidaan määrittelyalueen yli, saadaan:

    ddt∫Ω12u2dV=−∫Ω||∇u||2dV\frac{d}{dt}\int_{\Omega}\frac{1}{2}u^2dV=-\int_{\Omega}||\nabla u||^2dV

    Tässä on eräs instanssi termodynamiikan toisesta pääsäännöstä: systeemin lämpötila laskee nopeudella, joka on suoraan verrannollinen systeemin kokonaisgradienttienergiaan. Kun gradientin häviävät, systeemi on lämpötasapainossa.

    Termodynamiikka liittyy satunnaisprosesseihin siten, että Laplacen operaattori on itse asiassa Brownin liikkeen generaattori, eli jos näet jossakin parabolisen osittaisdifferentiaaliyhtälön, yleensä sen ”duaalina” voi mieltää jonkin satunnaisprosessin, jota ajaa Brownin liike. Siksi esim optiohinnoittelussa on toista derivaattaa. Tämä liittyy niin sanottuun fluktuaatio-dissipaatioteoreemaan. Yhtä kaikki, ripa ruostuu, ja systeemistä saatava hyödyllinen työ vähenee, lopulta olemme lämpökuolemassa, kun erot ovat tasoittuneet, ja systeemin energia on jaettu mahdollisimman tasaisesti systeemin eri tiloille.

    Olen noin 20 vuotta sitten lanseerannut termin ”merkitysten lämpökuolema”. Se tarkoittaa sitä, että kun globalisaatio, kulttuuridiffuusio ja muuttoliike jauhaa kaikki kulttuurigradientit nollaan, merkitykset häviävät, ja on pelkkää lämpösäteilyä ja tasalaatuista mössöä. Ripa ruostuu.

  • Eurooppalainen velkakriisi kytee kroonisena – fiskaalisesta dominanssista ja fiskaalisesta hintatason teoriasta federalistisiin utopioihin

    Eurooppalainen velkakriisi kytee kroonisena – fiskaalisesta dominanssista ja fiskaalisesta hintatason teoriasta federalistisiin utopioihin

    Paljon on vettä virrannut Vantaassa sitten finanssikriisin ja eurokriisin. Valmistuin itse kansantaloustieteen maisteriksi juuri keväällä 2008, kun Bear Stearns oli juuri mennyt kölin ali, ja Lehman oli kaatumassa syksyllä. Syksy 2008 oli villiä aikaa.
    Valtio myönsi Suomessakin 50 miljardin euron blankotakauksen pankkien varainhankinnalle. Eurokriisi puhkesi kukkaan keväällä 2010. Olin tuolloin VM:ssä töissä asian parissa. Kreikka, Portugali, Irlanti, Kypros, Espanja, ERVV, EVM, ERVM, OMT. Taustalla oli pitkällinen epätasapaino, eli krooninen vaihtotaseen vaje
    periferiassa. Euroalueen haavekuva oli se, että valtionlainamarkkina oli riskitön. Kun pankkijärjestelmään tuli talletuspako, likviditeetti korvattiin keskuspankkirahoituksella, joka näkyi mm. TARGET2 -epätasapainoina. Kirjoitimme nykyisen ulkoministerin kanssa teemasta muutama vuosi takaperin, löytyy täältä:

    https://www.hs.fi/mielipide/art-2000006660154.html

    Kriisi loppui keskuspankin OMT-julistukseen kesällä 2012. Pankkiunioni perustettiin 2012, ja sen viimeinen palikka, yhteinen talletussuoja ei ole saanut kannatusta jäsenmailta. Yhteinen kriisinratkaisurahasto löytyy, bail-in, yhteinen pankkivalvonta EKP:ssa Frankfurtissa. Suomessa Nordea on iso toimija, sen taseen loppusumma on liki 700 miljardia euroa. Eli moninkertaisesti Suomen bruttokansantuloon nähden.
    Valtioiden ja pankkien kuolemansilmukkaa ei ole kuitenkaan saatu kunnolla katkaistua. Edelleen isojen maiden bondimarkkinat luovat riskikeskittymiä kotivaltioidensa pankkijärjestelmiin. Koska pankkien omavaraisuus on bisnesmallinsa vuoksi luontaisesti vähäistä (antolainaus generoi vierasta pääomaa
    automaattisesti, eli talletuksia), pienehköt tappiot kaupintasalkuissa voivat aiheuttaa isoja ongelmia pankkien vakavaraisuudessa, siksi pankkisääntelyä on kehitetty
    finanssikriisin vuosista, ja pankit ovat nykyisin paremmin pääomitettuja.

    Eurobondeja pukkasi isommin 2020 koronaelpymispaketissa. 750 miljardia yhteistä velanottoa komission emissioina, EU:n nimiin, jäsenmaiden pro rata- takauksin. Suomi neuvotteli vastuurajauspykälän omien varojen päätökseen. Kirjassani tästä lisää. Riskitön safe-asset on katsottu integraatiopiireissä ehdottomana edellytyksenä suvereenille Eu:lle. Yhteisvastuu ei kuitenkaan hyvistä syistä maistu jäsenmaiden kansalaisille. Tämä taas johtuu mielestäni siitä, että ei ole yhteistä kulttuuria eikä verisidettä, EU tosin keksinee tähän ratkaisun yhteisestä armeijasta, kun Naton asema heikkenee ja sirpaloituu. Oletan, että ehdotus yhteisestä armeijasta tulee Ranskasta jollakin aikavälillä. Tätä täydentänee EU:n ehdotus liittovaltiosta, jossa EU-armeija rahoitetaan yhteisellä budjetilla, aidoilla EU:n veroilla ja tarvittaessa myös yhteisvastuullisella velanotolla. EU liittovaltioon ei pidä mennä, se ei toimi, koska meillä ei ole yhteistä eurooppalaista identiteettiä, kieltä, eikä edes jaettuja arvoja. Katolinen ja protestanttinen Eurooppa elää eri todellisuutta, ja toisaalta massamaahanmuutto sirpaloi eurooppalaista identiteettiä entisestään ja sabotoi integraatiota samoin.

    Missä olemme nyt? Euroalueen velkasuhde on noin 90 prosenttia BKT:sta. Ranskassa tilanne on herkin, velkasuhde on melkein 120 prosenttia, alijäämä yli 5 prosenttia. Ulkoinen tasapainon (NIIP ja vaihtotase) tilanne on myös heikko. Dirigistinen talousmalli ja matalan tuottavuuden massamaahanmuutto (Pariisin mellakat antavat osviittaa) rassaavat julkista taloutta. Demografia on heikko, eläkevastuut painavat, massamaahanmuutto maksaa (kriminaaliketjut yliedustettuina ja sosiaaliturvan ylikäyttö). Puolustusmenot rassaavat, vaikka Ranskalla on aktivistinen teollisuuspolitiikka. Tullit, konkelossa oleva poliittinen järjestelmä. Ranskan vaalit on keväällä 2027, ja siksi MFF halutaan Brysselissä valmiiksi ennen nuivien puolueiden esiinmarssia. AfD nousee Saksassa ja nuivat vastineet Ranskassa, kansallinen rintama ja Le Pen. Liberaali Eurooppa taivastelee, mutta ei tee juurisyille mitään. Ennustan kansallismielisten puolueiden nousua kaikkialla Euroopassa. Belfastissa jo kansa on kaduilla vastustamassa massamaahanmuuttoa kehitysmaista. Minimissään massamaahanmuutto johtaa julkisen talouden ongelmiin, pahimmillaan sisällissotaan Euroopassa. Välttäkäämme tätä kehitystä.

    Iranin sota luo hintapaineita, kun tarjontashokit välittyvät energiamarkkinoilta kuluttajahintoihin. Inflaatio-odotusten nousu pakottaa EKP:n nostamaan korkoputken tasoa. Eilen talletuskorko nousi 25 peruspistettä, se oli hinnoiteltu jo euriboreissa. Korkojen nousu hidastaa investointeja, kulutusta, kysyntää. Heikentää talouskasvua ja työllisyyttä. Korkojen nousu vaikuttaa myös viiveellä valtionlainojen korkoihin, ja siten lisäävästi myös valtioiden alijäämiin. Korkokate pankeissa tosin vahvistuu, kun antolainauskorko nousee, mutta talletuskannan korko on jäykkä. Pankkisektorin kilpailuvirasto voisi olla paikallaan.

    Valtioiden alijäämien kasvu voi olla iso ongelma, vaikka uudet EU:n
    finanssipoliittiset säännöt ohjaavat valtioita pysymään niiden nettomenourilla. Komissio on laskenut jäsenmaankohtaisen nettomenouran niin, että velkakestävyys turvataan. Nettomenouran poikkeamat pitää hoitaa jatkossa vain menoleikkauksilla tai veronkorotuksilla. Fiposääntöjen uhkavaikutus on kuitenkin heikohko, koska sanktioinnin pelotevaikutus ei ole uskottava (ei osapelitäydellinen Nash-tasapaino, peliteoreetikko sanoisi).

    Inflaatio on nostanut Ranskan 10 vuoden obligaation tuoton 4 prosentin pintaan. Nimellinen talouskasvu Ranskassa on hidasta. Näin ollen velkadynamiikka on epäsuotuisaa, ja solvenssiriskit kasvavat. Velkadynamiikkaan vaikuttaa eniten juuri
    tuo koron ja nimellisen kasvun erotus perusjäämän ohella. Ranskan poliittinen järjestelmä on sellainen luonteeltaan, että siellä kovien budjettileikkausten tekeminen on todella vaikeaa, ellei mahdotonta. Hallitukset tulevat ja menevät. Kansallinen
    rintama nousee.

    Mitä sitten velkaantumisesta seuraa? Toisen maailmansodan aikaan moldovalaistaustainen amerikkalainen ekonomisti Abraham Lerner (1903-1982) kirjoitti kirjan funktionaalisesta rahoituksesta. Siinä korostettiin rahapoliittisen
    suvereniteetin merkitystä. Kotimaan valuutassa, omalle kansantaloudelle velkaantuminen ei Lernerin mukaan ollut vaarallista. Mutta Lerner varoitti ulkomaille velkaantumisen vaaroista. MMT-advokaatit ovat tehneet bastarditulkintoja Lernerin funktionaalisesta rahoitusteoriasta. On vaarallista kuvitella, että MMT pätisi euroalueella, emme ole rahapoliittisesti suvereeni. Bondimarkkinoiden hauraus on tosiasia, ja markkinakuri on todellinen asia. Luottoluokitusten rooli on edelleen tärkeä, ja korkeasta luottoluokituksesta kannattaa pitää kiinni, sillä valtion reittaus säteilee koko kansantalouden rahoituskustannuksiin. Euroalue on eräänlainen synteettinen kultakanta tai kiinteä regiimi, jossa maat velkaantuvat aina käytännössä ulkomaille. Siksi Ranskan keskuspankki esimerkiksi ei voi ostaa Ranskan valtion bondeja tai obligaatioita mielensä mukaan jälkimarkkinoilta omilta pankeiltaan tai markkinalta laajemmin.

    Ranskan valtionbondimarkkina on maailman suurimpia. USA:ssa Fed voi periaatteessa ostaa liittovaltion paperia taseeseensa aika lailla helpommin. Kun keskuspankki ostaa pankeilta bondeja, ja hyvittää liikepankin keskuspankkitiliä ostosummalla, tämä kasvattaa keskuspankin tasetta. Rahoitus luodaan tyhjästä, kuten pankkienkin tapauksessa. Bondien ostamiseen liittyy riskejä, sillä kun keskuspankki ostaa valtion velkaa, se altistaa itsensä korkoriskille, koska korkotuotto on kiinteä, mutta keskuspankin rahoituskorko on vaihtuva (keskuspankin talletuskorko). Keskuspankki voi myös joutua kirjaamaan tulosvaikutteisia arvonmuutostappioita, jos se myy
    sijoitussalkussa (ANFA) olevan bondin takaisin happanevaan markkinaan. Toki keskuspankit voivat toimia periaatteessa negatiivisella pääomalla, koska keskuspankkeja ei koske vakavaraisuussääntely. Silti negatiivinen oma pääoma
    tarkoittaa ainakin sitä, että rahan uskottavuus horjuu, keskuspankin riippumattomuus horjuu, ja tuloutuksen valtion budjettiin lakkaavat vuosiksi. On budjettivallan kannalta vallan erikoista, että pienetkin rahoituspaketit valtioneuvoston taholta menevät perustuslakivaliokunnan etukäteissyyniin, mutta eurojärjestelmän tuhansien miljardien paketteja voi suvereenisti kuitata vaikkapa Mikkelin mökin laiturilta. Asia on monimutkainen, mutta fiskaalinen dominanssi johtaa siihen, että jossain vaiheessa parlamentit kiinnostuvat keskuspankkien ottamista riskeistä veronmaksajien piikkiin.

    Euroalueen rahoitusvakausriskit liittyvät nähdäkseni juuri tällä hetkellä näihin määrättyihin isoihin valtionlainamarkkinoihin (Ranska, Espanja?), ja toisaalta pankkisektoriin. Pankkien kunto riippuu paljolti myös kotivaltion julkisen talouden kunnosta. Jos bondien arvot tippuvat, pankkien oma pääoma sulaa nopeasti, joka taas luo painetta valtion solvenssiin, koska markkinoilla edelleen oletetaan paljolti, että kotivaltio kuittaa pankkikriisin laskun. Suomessakin tästä on kokemuksia, kun SKOP
    ja säästöpankkisektori suli pankkikriisissä 1990-luvun alussa. Valtion perusti Valtion vakuusrahaston keväällä 1992, roskapankki Arsenalin yms. Suomella meni aika paljon rahaa ja poliittista pääomaa pankkipaketteihin Ahon hallituksen aikana.

    Rahoitusjärjestelmä on minusta kiehumassa pikkuhiljaa yli. Siksi ennustan kirjassani paluuta jonkinlaiseen Bretton Woods -järjestelmään. Alkuperäinen järjestelmä purettiin jo 1970-luvun alussa. Kun USA velkaantui 1960-luvulla Vietnamin sodan
    vuoksi ja Lyndon Johnsonin Great Society -sosiaalivaltiohankkeen myötä, Ranska alkoi epäillä USA:n sitoumusta lunastaa dollarit kullassa. USA:han syntyi käytännössä kultamääräinen talletuspako, kun dollari oli saanut Bretton Woods –
    järjestelmän ankkurin roolin kultakannan takuumiehenä. Nixon irrotti dollarin kullasta 1971 elokuussa. Sen jälkeen länsimaiden valuutat ovat olleet puhdasta fiat-paperirahaa. IMF:n tilastojen perusteella velkaantuneisuus maailmantaloudessa on
    ennätystasolla, eli rahan vapauttaminen kullan ikeestä on nostanut velkavipua käytännössä kaikilla sektoreilla. Nämä sektoritaseiden kasvut ovat tietenkin myös
    riski.

    Globaalissa geotaloudessa dollarin asemaa globaalina reservivaluuttana on vaikeaa haastaa. Dollarin vahva asema lähtee Bretton Woodsin konferenssista kesällä 1944.
    USA on edelleen maailman ykkössuurvalta, siksi dollarilla on vahva uskottavuus arvon säilyttäjänä. Charles Kindlebergerin mukaan dollarin hegemoninen asema perustuu osin myös juuri siihen, että Fed on tavallaan maailman keskuspankki. Se
    takaa eurodollarimarkkinan likviditeetin lainaamalla tarvittaessa dollareilta kaikille isoille keskuspankeille (swap-linjat), jotka voivat taas taata dollarilikviditeettiä
    lainkäyttöalueensa liikepankeille. On tärkeää ymmärtää, että dollareita voi periaatteessa luoda mikä tahansa pankki myös USA:n ulkopuolella, jos sen dollarilikviditeetti on taattu keskuspankin taholta. Eli keskuspankin lender of last
    resort -funktio on tärkeä tässäkin. Keskuspankki istuu suvereenisti rahoitushierarkian huipulla. Kehittyvissä talouksissa tulee ongelmia, kun FED nostaa korkoja. Euro ei kilpaile samassa sarjassa dollarin kanssa. EKP ei ole samalla tapaa maailmankeskuspankki kuin Federal Reserve.
    Euron asema reservivaluuttana on siis heikko verrattuna taalaan. EU:n komission eliitti hakee toisaalta eurolle tätä asemaa. Reservivaluutan rooli voi olla vaikeaa saavuttaa dysfunktionaalisessa eurojärjestelmässä. Jos vaikkapa Ranskan julkinen talous ajatuisi kriisiin, koko euroalue olisi vaarassa. Bondimarkkinan romahtaminen olisi tuolloin estettävissä vain Ranskan keskuspankin massiivisilla bondiostoilla.
    Tämä vaatisi taas vahvan ehdollisuuden, muuten pelastusoperaatio olisi laiton (Pringle yms). Tukiohjelmien ehdollisuus on myös poliittisesti välttämätöntä. Jos pelastettavan
    bondimarkkinan kotivaltion talouspolitiikkaa ei laitettaisi tiukalle matokuurille,syntyisi tilanne, jossa muut jäsenmaat voisivat tehdä alijäämäistä budjettipolitiikkaavailla huolta huomisesta, ja keskuspankki kuittaisi laskun.

    Valtioiden ylivelkaantuminen tarkoittaisi euroalueella vahvaa fiskaalista dominanssia. Toki myös talouspolitiikan de facto – toimivallan valuminen komissiolle on omiaan ruokkimaan nationalismia, kuten Kreikassa, vrt. Kultainen aamunkoitto -natsipuolue. Keskuspankki joutuisi painamaan korkokäyrän alas sekä lyhyessä että pitkässä päässä. Tätä keskuspankki pelkää. Siksi fipo-säännöt keksittiin 1990-luvulla. Kun Maastrichtin sopimuksessa 1991 luotiin velkajarru, ja sovittiin 60 prosentin velkakatossa, pyrittiin juuri välttämään fiskaalista dominanssia. Kun siinä ei pysytty, luotiin vakaus- ja kasvusopimus, jota on täydennetty lukuisia kertoja. En ole vakuuttunut, että uudet fiposäännöt voivat estää velkakriisiä euroalueella. Ei
    sättiminen virkamieskomiteassa muuta isoa kuvaa. Vain markkinakuri bondimarkkinoilla saa talouspolitiikan kääntymään vastuulliseksi. Toki meillä Suomessa olemme sopeuttaneet tällä kaudella suoraan 6,5 miljardilla eurolla, joka on
    vahva suoritus.


    Jos laajamittainen velkakriisi tulisi latinalaiseen Eurooppaan, Berlaymont’n kalapuikkoviiksimiehet pyrkisivät luomaan samalla fiskaalisen liittovaltion, ja euron asema sementoitaisiin samalla kansainväliseksi kilpailijaksi dollarille reservivaluuttana, ehkä se voisi eurokraattien silmissä kilpailla dollarin kanssa jopa
    dollarin asemasta petrodollarina. Massiivisessa velkakriisissä eurojärjestelmä, eli jäsenmaiden keskuspankit, joutuisivat ostamaan massiivisesti valtioiden bondeja pro rata. Nämä bondit voitaisiin EU:n haavekuvissa korvata yhteisillä eurobondeilla,
    joille tulisi yhteistakaus. Näin eurojärjestelmä voisi vaihtaa jäsenmaiden bondit eurobondeihin, ja lopuksi jäsenmaiden bondit voitaisiin vaikka repiä ja heittää roskakoriin. EKP pyrkinee siksi luomaan pankkisääntelyä siihen suuntaan, että eurobondien vakavaraisuuskohtelu olisi suotuisampaa verrattuna jäsenmaiden bondeihin.

    Funktionaalisessa integraatiossa, tai liittovaltiossa kyökin oven kautta, on paljon ongelmia demokraattisen legitimiteetin näkökulmasta. Ukrainan sodan ja geotaloudellisen tilanteen vuoksi perussopimuksia ei uskalleta avata, ei uskalleta
    keikutella venettä, vaikka niin pitäisi demokratiassa ja avoimessa yhteiskunnassa tehdä. Olisi reilua, että jäsenmaiden ääni kuultaisiin avoimesti konventissa ja hallitustenvälisessä konferenssissa. Siten demokratia pitäisi toimia, ei kriisien kautta
    salamitaktiikalla. EU menee minusta vaarallisen nopeasti epädemokraattiseen ja teknokraattiseen suuntaan, jossa talouspolitiikan toimivaltaa siirretään salamitaktiikalla jäsenmailta komissiolle, vaikka perussopimusten mukaan
    talouspolitiikka on jäsenmaiden toimivallassa. Uuden rahoituskehysehdotuksen vastenmielisin aloite on NRPP-ohjelma, josta tulee valitettavasti uusi RRP-ohjelma, josta syntyy valtava määrä raportointia ja efektiivistä toimivallan siirtoa komissiolle
    talouspolitiikassa. Tämä on sitä faktista salamitaktiiikkaa. Unionin oikeuspalvelut antavat näistä aina EU-myönteisen tulkinnan.

    Fiskaalinen dominanssi on joka tapauksessa euroalueella riski, ja jopa fiskaalinen hintatason teoria saattaa olla todellisuutta. On kuitenkin eroteltava normatiivinen ja positiivinen puoli argumentista. En pidä MMT-teoriaa hyvänä kehityksenä, mutta moni asia viittaa siihen, että menemme kohti MMT-maailmaa. Yksi instanssi MMT:n voittokulusta on keskuspankkien digitaalirahahankkeet. Digitaalinen euro voisi johtaa
    siihen, että jatkossa EKP:lla ja kansallisilla keskuspankeilla olisi
    käyttelytilikapasiteetti, eli kaikki kotitaloudet ja yritykset voisivat avata käyttelytilit keskuspankkiin. Tämä voisi johtaa houkutukseen tehdä rahataloudellista elvytystä,
    jos lamassa halutaan ostovoimaa ja kulutusta käyntiin. Kotitalouksien tileille voisi laittaa saldoa keskuspankista, joka vauhdittaisi kulutusta. Toisaalta, kun eurooppalaisessa paisuneessa sosiaalivaltiomallissa julkinen ylikulutus on valittu
    toimintatapa, ylivelkaantumiskriisitilanteessa on selvää, että ennen kuin koko järjestelmä päästettäisiin kaaokseen, keskuspankit joutuisivat pelastamaan valtiot,
    tässä olemme fiskaalisen dominanssin ytimessä.
    Bondimarkkinat näyttävät siis aika riskipitoiselta sijoitukselta määrätyissä euromaissa. Siksi sijoittajat hakevat parempaa tuotto-riski-suhdetta mm. osakkeista ja kullasta, ehkä kryptoistakin. Jos fiskaalinen dominanssi tulee, bondien reaalituotot varmaankin romahtavat. Silloin hintatason määrään valtioiden solvenssi ja maksukyky. Geopoliittinen riski on perusluonteeltaan inflatorinen. Jos geopoliittinen riski materialisoituu Taiwanissa, Iranissa, Ukrainassa jo koettua pahemmin, inflaatio ensivaiheessa nostaa korkoja, joka tappaa talouskasvun. Tämä olisi myrkkyä valtioiden velkakestävydelle. Korkotaso laskisi vasta, kun bondimarkkinat alkavat
    sulaa. Tässä tilanteessa olemme jo isoissa ongelmissa. EU-politiikka on sisällöllisestivaikeaa, ja kaukana tavallisen ihmisen jokapäiväisestä elämästä. Silti näistä vaikeista
    teemoista pitäisi jaksaa jauhaa. EMU:uun mentiin vuonna 1994 sammutetuin lyhdyin, nyt ei kannata toistella samoja virheitä. Ymmärrän poliitikkojen tarpeen mennä
    kaikkiin ytimiin ja pöytiin tuolloin. Olemme kuitenkin nyt eri tilanteessa, kun olemme Natossa, ja EU:n turvallisuuspoliittinen ratio on kyseenalainen. Ainoa legitiimi ja oikea tie on vaatia perussopimusten avaamista ja avointa debattia filosofi
    Karl Popperin hengessä.

    MATEMAATTINEN LIITE VELKADYNAMIIKASTA JA HINTATASON FISKAALISESTA TEORIASTA

    Merkitsemme valtion velkaa D, korkoa i ja perusjäämää B (budjetin jäämä ilman korkomenoja). Tilinpitoidentiteetti on:

    $$\dot{D}=iD-B$$

    Eli velan aikaderivaattaan vaikuttaa korkomenot ja perusjäämä. Oletetaan, että nimellinen talouskasvu noudattaa

    $$\dot{Y}=gY$$

    Eli Y on nimellinen BKT, g on nimellinen hetkellinen talouskasvu.

    Nyt voimme muodostaa suureen velka/BKT, eli

    $$\frac{D}{Y}$$

    Tämän osamäärän aikaderivaatta on

    $$\dot{\left(\frac{D}{Y}\right)}=\frac{\dot{D}Y-D\dot{Y}}{Y^2}$$

    Merkitsemällä :

    $$d=\frac{D}{Y}$$

    ja lisäksi

    $$b=\frac{B}{Y}$$

    saamme velkadynamiikan perusyhtälön

    $$\dot{d}=(i-g)d-b$$

    Tutkitaan sitten valtion intertemporaalista budjettirajoitetta. Voidaan kertoa yhtälö puolittain eksponentiaalisella termillä:

    $$e^{-(i-g)t}$$

    Saadaan:

    $$e^{-(i-g)t}\dot{d}=(i-g)e^{-(i-g)t}d-e^{-(i-g)t}b$$

    Integroidaan nykyhetkestä ikuisuuteen:

    $$\int_{0}^{\infty}e^{-(i-g)t}\dot{d}dt=-\int_{0}^{\infty}-(i-g)e^{-(i-g)t}ddt-\int_{0}^{\infty}e^{-(i-g)t}bdt$$

    Siirretään ensimmäinen termi oikealla puolella vasemmalle:

    $$\int_{0}^{\infty}e^{-(i-g)t}\dot{d}dt+\int_{0}^{\infty}-(i-g)e^{-(i-g)t}ddt=-\int_{0}^{\infty}e^{-(i-g)t}bdt$$

    Vasemmalla puolella on selvästi osittaisintegrointia havaittavissa, eli voidaan sieventää

    $$e^{-(i-g)t}d(t)_{0}^{\infty}=-\int_{0}^{\infty}e^{-(i-g)t}b(t)dt$$

    Jos velkasuhde ei kasva äärettömyydessä eksponentiaalisesti, täytyy olla

    $$d(0)=\int_{0}^{\infty}e^{-(i-g)t}b(t)dt$$

    Eli saatiin näppärästi valtion intertemporaalinen budjettirajoite. Se sanoo, että No-Ponzi -skenaarioissa velkasuhde/BKT täytyy vastata tästä ikuisuuteen diskontattuja perusjäämä/BKT -virtoja, kun ne diskontataan korko-kasvu-erotustekijällä.

    Nyt pääsemme matematiikasta tulkintaan. Jos kerran tämä on aina voimassa rajoitteena, ja velkasuhde ei räjähdä äärettömyydessä, täytyy olla vaikkapa niin, että korko-kasvu-erotus täytyy olla sellainen, että yhtälö pitää kutinsa. Voimme hiukan mutkat oikoen tulkita erotuksen i-g talouden reaalikoroksi. Tehdäänpä nyt sellainen oletus, että pääomamarkkinoilla oletetaan, että tästä ikuisuuteen perusjäämä/BKT on odotusarvoinen joku vakio b. Silloin saamme, jos i>g,

    $$d(0)=b\int_{0}^{\infty}e^{-(i-g)t}dt=\frac{b}{i-g}$$

    Eli toisin sanoen korko-kasvuero täytyy olla

    $$i-g=\frac{b}{d(0)}$$

    Eli talouden reaalikorko täytyy olla yhtä suuri kuin perusjäämä jaettuna velalla. Tämä tarkoittaa sitä, että jos velkaa on paljon, reaalikorko täytyy olla matala, liki nolla. Tässä on niin sanottu hintatason fiskaalinen teoria. Sen pani alulle Christopher Sims 1990-luvulla. Sen oleellinen viesti on, että julkinen velkaantuminen määrää hintatason siten, että solvenssirajoite pitää. Olen johtanut solvenssirajoitteen yllä.

    Matematiikka osoittaa, että reaalikorko näyttelee keskeistä roolia valtion solvenssin kannalta, ja näin ollen on olemassa ilmeinen riski sille, että jos valtion velkataakka kasvaa kovin suureksi, keskuspankit joutuvat ajamaan reaalikoron alas. Tämä on tietysti helpommin sanottu kuin tehty. Valtion velan kustannus i tuppaa nousemaan, kun velkaa on paljon. Tämä on niin sanottu riskilisä. Silloin g, eli nimellinen talouskasvu täytyy kiihtyä, jotta reaalikorko pysyy alhaalla. Tätä tarkoitetaan sillä, kun velat inflatoidaan. Nimellinen talouskasvu on karkeasti reaalinen kasvu lisättynä inflaatiolla.

  • Tekoälyn matematiikasta

    Tekoälyn matematiikasta

    Moderni tekoäly on kiinnostavaa myös sovelletun matematiikan silmin. Laajat kielimallit (Large Language Models) perustuvat funktioapproksimointiin epälineaarisen tilastollisen päättelyn avulla. Kutsumme tätä kokonaisuutta keinotekoisiksi hermoverkoiksi tai syväkoneoppimiseksi. Kuten klassisessa tilastollisessa päättelyssä, tekoälyssä on kyse parametrien estimoinnista. Parametrien estimointia AI-kontekstissa kutsutaan ”oppimiseksi”. Eli halutaan, että malli replikoi jonkin oppimisdatan, jonka perusteella voi ekstrapoloida seuraavia sanoja tai lauseita tai mitä vaan. Tavallaan kyse on epälineaarisesta regressioanalyysistä. Regressioanalyysissä minimoidaan L^2-normia (pienimmän neliösumman menetelmä), mutta syvissä neuroverkoissa määritellään usein jokin etäisyysmitta yleisemmin, kuten ristientropia tai vastaava divergenssimitta.

    Tekoälyn matematiikka on siis yksinkertaisimmillaan vektorianalyysiä ja lineaarialgebraa. Parametrien optimointi on kuitenkin epäkonveksia optimointia, jonka vuoksi hyvien parametriestimaattien löytäminen on laskennallisesti haastavaa. Parametreja mallissa voi olla 1000 miljardia kappaletta. Eli funktion minimiä etsitään 1000 miljardin ulottuvuuden avaruudessa. Siksi tarvitsemme datakeskuksia, ja siksi myös sähkön hinta tulee nousemaan jatkossa Suomessa.

    Tavallisessa gradienttihaussa muutosvektori sojottaa funktion korkeuskäyrää vasten kohtisuoraan, se hakee tehokkaasti optimin konveksissa optimoinnissa. Epäkonveksissa tapauksessa gradienttihaku jumahtaa helposti lokaaliin optimiin, koska haku menee sokeasti siihen suuntaan, mihin funktio vähenee nopeiten. Siksi gradienttihakua pitää tuunata.

    Epäkonveksin optimoinnin tapauksessa yleensä perusmallina voidaan ajatella stokastista gradienttimenetelmää, jossa on liikemäärä. Haku siis käynnistetään jossakin pisteessä, ja kiihdytetään negatiivisen gradientin suuntaan lokaalisti. Lisäksi voidaan arpoa pseudosatunnaislukuja, jotka poikkeuttavat hakusuuntaa hieman. Kun haussa gradientti vaikuttaa kiihtyvyteen, haku ei pysähdy helposti lokaaliin optimiin, satunnaisuus auttaa myös karkaamaan lokaalista optimista. Laakeat alueet ovat myös haun kannalta hankalia alueita,

    Inertiahaun pioneeri on neuvostomatemaatikko Boris Polyak ja raskaan pallon menetelmä:

    B. T. Polyak, Some methods of speeding up the convergence of iteration methods, USSR Computational Math. and Math. Phys., 4/5 (1964) 1–17 (Translated by H. F. Cleaves).

    Nesterov paranteli hakua:

    Yu. E. Nesterov, A method of solving a convex programming problem with convergence rate O(1/k2), Soviet Math. Dokl., 27/2 (1983) 371–376 (Translated by A. Rosa)

    Yleensä siis meille on annettu jokin monimutkainen tappiofunktio tai sakkofunktio parametriavaruuden yli, jolle haetaan minimiä. Funktion minimin etsiminen vastaa tekoälyn oppimista, eli malli säätää parametrejä. Kyse on pohimmiltaan klassisesta tilastollisesta päättelystä.

    Haun optimaalisuus on hyvä kysymys.

    Yleisesti ottaen haluamme päästä minimiajassa optimiiin, minimikustannuksin. Kysymys on metaoptimoinnista. On melko selvää, että metaoptimointiin optimisäätöteoria on hyvä väline. Tästä on hyvä paperit:

    I.M. Ross, An optimal control theory for nonlinear optimization, J. Comput. Appl. Math. 354 (2019), 39–51.
    I. M. Ross, Generating Nesterov’s accelerated gradient algorithm by using optimal control theory for optimization, J. Comput. Appl. Math. 423 (2023), 114968.
    I. M. Ross, Derivation of coordinate descent algorithms from optimal control theory, Oper. Res. Forum 4
    (2023), 31.

    Optimisäätöteoria tuottaa siis näitä algoritmeja, kun tarkastelemme erilaisia kustannusrakenteita. Voimme soveltaa suljetun silmukan säätöä tai avoimen silmukan säätöä. Tästä päästään nopeasti Hamilton-Jacobi -teoriaan ja Pontrjaginin maksimiperiaatteeseen. Hamilton-Jacobi-teoria antaa arvofunktiolle dynaamisen lain (epälineaarinen osittaisdifferentiaaliyhtälö), ja se on takaisinkytketty (suljettu silmukka). Yleensä voimme olettaa, että optimoitava epäkonveksi funktio on riittävän sileä (C^2) ja Lipschitz-jatkuvuus gradientille.

    Oppiminen on siis optimisäätötehtävä. Optimisäätö on siis tekoälykästä jossakin mielessä, jos optimiliikelaki löytää riittävän hyvän minimin sakkofunktiolle. Syvässä neuroverkossa sakkofunktion muoto on todella monimutkainen, mutta stokastiset gradienttimenetelmät ovat hyviä skaalautumaan. Periaatteessa gradientin laskeminen perustuu backpropagation- algoritmiin, jonka kehitti suomalainen Seppo Linnainmaa (1970). Sepolle pitäisi myöntää Millennium-palkinto. Hän on AI:n uranuurtaja mm. Hintonin ja Lecunin ohella.

    AI on siis operaatiotutkijan ydinosaamista, koska syvän neuroverkon oppiminen on optimointeoriaa ja optimisäätöteoriaa.

    Kirjoitan teemasta tutkimusartikkelia, koska olen uskoakseni löytänyt teemaan uuden näkökulman, joka täydentää tutkimuskirjallisuutta, tästä lisää pian.

  • Lisää matematiikan kauneuksia

    Lisää matematiikan kauneuksia

    Yksi näteimmistä osa-alueista matematiikassa on funktionaalianalyysi. Funktionaalianalyysi kehittyi 1900-luvun alkupuolella, integraaliyhtälöitä tutkittaessa. Funktionaalianalyysin perusidea piilee siinä, että otamme ääretönulotteisen vektoriavaruuden jonkin kunnan yli, ja esitämme funktiot tuon vektoriavaruuden asukkaina. Esimerkiksi, jos meillä on vaikkapa jokin osittaisdifferentiaaliyhtälö (yhtälössä on derivaattoja usean muuttujan suhteen) muotoa:

    Lu=FLu=F

    Missä L on lineaarinen osittaisdifferentiaalioperaattori, u on ratkaistava funktio, ja F on jokin funktio (lähdetermi). Intuitiivisesti voimme ajatella funktiota u tuon avaruuden ”vektorina”, ja L vastaa ikään kuin ”matriisia”, joka syö ”vektoreita” ja sylkee ulos toisia ”vektoreita”. Matriisilaskennassa ratkaisisimme yhtälön kääntämällä matriisin ”L”, tämä vastaa osittaisdifferentiaaliyhtälöissä Greenin funktion menetelmää, mutta ei mennä nyt siihen.

    Vektoriavaruus, jota tarvitsemme, on Hilbert-avaruus. Hilbert-avaruus on nimetty kuuluisan matemaatikon David Hilbertin mukaan. Hilbert-avaruus on täydellinen, normitettu lineaarinen sisätuloavaruus. Sisätulo tässä avaruudessa antaa normin, ja ideana on löytää tälle ääretönulotteiselle avaruudelle jokin sopiva, maksimaalinen, ortonormaali kanta. Voit ajatella ortonormaalia kantaa lukion i,jk, – koordinaatiston yleistyksenä ääretönulotteiseen vektoriavaruuteen. Sisätulo mittaa jossakin mielessä vektoriavaruuden alkioiden samankaltaisuutta. Luonnollinen funktioavaruus monissa sovellutuksissa on

    L2[a,b]L^2[a,b]

    jonka sisätulo <,> annetaan

    <f,g>=∫abf∗gdx<f,g>=\int_{a}^{b}f^{*}gdx

    Hilbert-avaruuden geometrinen idea on siis lausua yleinen funktio u seuraavana sarjakehitelmänä:

    u=∑n=1∞cnϕnu=\sum_{n=1}^{\infty}c_n\phi_n

    Funktioavaruudessa asuva funktio on siis lineaarikombinaatio funktioavaruuden kantavektoreista. Tämä on siis funktion lausuminen kantafunktioiden superpositiona.

    Varsinainen neronleimaus oli kytkeä osittaisdifferentiaalioperaattori L ja vektoriavaruuden kanta toisiinsa. Tämä onnistuu spektraaliteorian avulla.

    Tarkastellaan ominaisarvoyhtälöä:

    Lu=λuLu=\lambda u

    Eli kysymme, onko sellaisia funktioita u, jotka differentiaalioperaattori L skaalaa tekijällä lambda?

    Jos määrätyt tekniset ehdot täyttyvät, meillä on teoreema, joka sanoo, että L -operaattorilla on täydellinen joukko ominaisfunktioita ja reaaliset ominaisarvot. Nyt voimme virittää funktioavaruuden kyseisen differentiaalioperaattorin ominaiskannassa. Tämä auttaa, sillä derivointi palautuu tällöin kertolaskuksi.

    Olennaisesti siis kyse on siitä, että differentiaalioperaattori diagonalisoidaan ominaiskantaan. Mielivaltaisen funktion esittäminen ominaiskannassa vastaa itse asiassa pienimmän neliösumman menetelmää, tilastotieteessäkin paljon käytetty.

    Eli meidän täytyy löytää sellaiset kertoimet, että sarjakehitelmän funktion ”etäisyys” oikeasta funktiosta u on minimaalinen. Tarkastelemme siis virhettä, eli normia funktiolle

    E=||u−∑n=1∞cnϕn||2E=|| u-\sum_{n=1}^{\infty}c_n\phi_n||^2

    Kun minimoimme virhettä kertojakunnan suhteen, optimaalisuusehtoina

    ∂E∂cn=0.\frac{\partial E}{\partial c_n}=0.

    saamme täsmälleen sen, että kertojat ovat funktion u Fourier-kertoimet! Näin ollen funktio u on yksinkertaisesti seuraava kehitelmä:

    u=∑n=1∞<u,ϕn>ϕnu=\sum_{n=1}^{\infty}<u,\phi_n>\phi_n

    Missä sisätulo on määritelty :

    <u,ϕn>=∫Du∗ϕndx<u,\phi_n>=\int_Du^{*}\phi_ndx

    Tämä ajattelu vastaa täysin pienimmän neliösumman menetelmän normaaliyhtälöitä, jotka jokainen ekonometrikko osaa unissaankin.

    Jos palaamme vielä osittaisdifferentiaaliyhtälöömme:

    Lu=FLu=F

    Sähköinsinöörit tunnistavat seuraavan: Jos tulkitsemme funktion F impulssiksi, ja funktion u vasteeksi, voimme ajatella operaattorin L käänteisoperaattorin olevan systeemin impulssivaste. Tarkemmin, operaattoria L vastaava Greenin funktio on systeemin impulssivastefunktio. Voimme kehittää sen luonnollisesti sarjaksi operaattorin ominaiskannassa. Funktio u saadaan sen jälkeen helposti ratkaistua, ja se palautuu olennaisesti Fourier-sarjaksi.

    John von Neumann ja sovellettu funktionaalianalyysi

    Unkarilainen matemaatikko ja yleisnero John von Neumann (1903-1957) kehitti sovellettua funktionaalianalyysiä 1920-luvun ja 1930-luvun taitteessa. Von Neumann loi systemaattisen teorian Hilbertin avaruudesta. Hilbertin avaruudessa on luonnollista käsitellä kvanttimekaniikkaa.

    Kvanttimekaniikassa tarkastelemme systeemin aaltofunktiota jossakin Hilbertin avaruudessa. Aaltofunktio on siis neliöintegroituva

    ϕ∈L2(R3)\phi \in L^2(R^3)

    Se kuvaa hiukkasen tilaa. Varsinainen Schrödingerin yhtälö kuvaa aaltofunktion aikakehitystä:

    iℏ∂ϕ∂t=ℋϕ.i\hbar \frac{\partial \phi}{\partial t}=\mathcal{H}\phi.

    Schrödingerin yhtälön voi mieltää linearisoituna Hamilton-Jacobi-Bellman -yhtälönä, tuttu stokastisesta optimisäätöteoriasta. Luonto siis optimisäätää.

    Operaattoria yhtälön oikealla puolella kutsumme Hamiltonin operaattoriksi. Separoimalla yhtälön, saamme ominaisarvoyhtälön

    ℋϕ=Eϕ\mathcal{H}\phi=E\phi

    Ominaisarvot ovat kvanttimekaanisen systeemin energiatiloja. Ominaisarvot ovat siis Hamiltonin operaattorin ominaisuus. Hamiltonin operaattori kuvaa systeemin kokonaisenergiaa. Kun Hamiltonin operaattori on itseadjungoitu, ominaisarvot ovat reaalisia, ja ominaisfunktiot muodostavat avaruuteen täydellisen ortonormaalin kannan. Tämä koordinaatisto kannattaa nyt valita, eli lausumme aaltofunktion superpositiona kantafunktioista f:

    ϕ=∑i<ϕ,fi>fi.\phi=\sum_i<\phi,f_i>f_i.

    Kun kvanttilaskennassa puhutaan esimerkiksi qubiteilla laskemisesta, yllä oleva sarjakehitelmä on juuri se mystinen superpositio. Itse tulkitsen superposition maksimientropiatilaksi, ja mittaus päivittää systeemin tilan jollekin kantafunktiolle. Fourier-kertoimen neliö on kyseisen tilan todennäköisyys a priori. Tämä tulee siitä, että funktion normi säilyy riippumatta esitystavasta (Parsevalin teoreema).

    Mittaus vastaa nyt ortogonaaliprojektiota jollekin avaruuden kantavektorille, jonka todennäköisyys riippuu suoraan Fourier-kertoimista (unitaarisuus). Matemaattisesti mittaus vastaa Bayesilaisesta tilastollisesta päättelystä priorijakauman päivitystä posteriorijakaumaan. Priorijakauma on tyypillisesti maksimientropiajakauma. Aaltofunktio littyy hiukkasen siirtymistodennäköisyyteen.

    Teorian matemaattinen kauneus näkyy minusta siinä, että Hamiltonin operaattorin ominaisuudet antavat meille reaalisen energiaspektrin ja toisaalta täydellisen kannan funktioavaruuteen. Mittaus on tehtävissä Rieszin esityslauseen perusteella (funktionaalit ovat sisätuloja). Toisaalta todennäköisyyden säilyminen tulee siitä, että unitäärinen aikaevoluutio ja Hamiltoniaanin hermiittisyys ovat ekvivalentteja (Stonen teoreema). Intuitiivisemmin asian voi nähdä niin, että Schrödingerin yhtälö antaa separoituvana ratkaisuna aikaosan, jonka mitta on aina 1. Se johtuu juuri Schrödingerin yhtälön imaginääriyksiköstä aikaderivaattaoperaattorin edessä. Kaikki palaset siis loksahtavat todella paikalleen.

    Matematiikka kehittyy usein analogioiden kautta. Funktionaalianalyysi yleistää matriisilaskennan ja lineaarialgebran. Oivallus, että matriisia voi vastata derivaattaoperaattori, on merkittävä. Toisaalta ominaisfunktioiden avulla funktioavaruuden virittäminen on nerokas temppu, koska se palauttaa derivoinnin kertolaskuksi.

    Funktion esitys sarjakehitelmänä voidaan mieltää niin, että jokaiselle funktiolle on olemassa joukko rakennuspalikoita, joista se voidaan rakentaa. Signaalinkäsittelyssä on kyse samasta asiasta; kun signaali hajotetaan spektriin, kaikki alkeistaajuudet amplitudeineen kertovat signaalista yksityiskohtaisesti. Kvanttimekaniikassa energiatilat ovat kuin seisovia aaltoja, ne värähtelevät määrätyllä energialla. Kemistien atomiorbitaalit ovat juuri näitä Hamiltonin operaattorin ominaisfunktioita ja niiden superpositioita (palloharmoniset funktiot yms.). Eli kemia on pohjimmiltaan sovellettua funktionaalianalyysiä, ainakin reduktionistin silmin. Maailmassa on siis täydellistä kaunetta – matemaattista sellaista.

  • Matematiikan kauneudesta

    Matematiikan kauneudesta

    Jos matematiikkaa ei ole harrastanut yliopistotasolla, on matematiikka kieltämättä kokemuksena aika kuivaa. Yläastematematiikka on laskentoa ja lukiomatematiikka ainakin. Matematiikka kuitenkin tarjoaa korkeaa esteettistä nautintoa, jos oppii sen korkeamman kielen. Matematiikan estetiikan äärelle pääseminen on raskas tie, mutta se kannattaa kulkea. Se tuottanee samanlaista nautintoa kuin vaikkapa kaunis musiikki tai taide laajemmin. Itse koen kauniin matematiikan subjektiivisesti niin, että kaikki palaset loksahtavat jotenkin harmonisesti paikalleen abstrakteissa rakenteissa, ja se tuottaa erikoisella tavalla esteettistä nautintoa ja tyydytystä. Matematiikka löydetään, ehdottomasti. Matematiikka on universaalilogiikan muotokieltä, se kertoo meille mahdollisista maailmoista.

    Matematiikka on kiistattomasti myös ihmiskunnan älyllisen toiminnan ylivoimaisesti korkein muoto. Matematiikka on täsmällistä, armotonta ja ei-poliittista. Se on korkeampaa ajattelua kuin teoreettinen filosofia, sillä vaikka analyyttinen filosofia on melko lähellä matematiikkaa, korkea matematiikka sisältää paljon enemmän. Wittgenstein tapaili sitä, minkä Kurt Gödel kuvasi yleisesti täsmällisesti ja täydellisesti. Suuret filosofit ovat aina myös matemaatikkoja. Descartes, Leibniz, Platon. Karl Popper oli varmaankin suurimpia 1900-luvun filosofeja, ja myös hän osasi matematiikkaa ja fysiikkaa. Popper on kirjoittanut jopa kirjan kvanttimekaniikan tulkinnoista, vaikka hänet tunnetaan yleisesti yhteiskuntafilosofiasta ja tieteenfilosofiasta yleisemmin. Matematiikka on myös tavattoman tehokas järjestelmä kuvaamaan luonnonilmiöitä. Tuntuu, kuin luonnon kirja olisi kirjoitettu todella matematiikan kielellä. Kauniin teorian ymmärtäminen tuo mielen harmoniaa ja tyyneyttä, matematiikalla on siis määrätty meditatiivinen ulottuvuus.

    Omasta mielestäni esteettisesti kaikkein tyydyttävintä matematiikkaa on kompleksianalyysi, jota kutsutaan myös funktioteoriaksi. Funktioteoriassa tarkastellaan pääasiassa niin sanottuja holomorfisia funktioita ja meromorfisia funktioita.

    Holomorfinen funktio voidaan tässä yhteydessä ymmärtää kaikkialla derivoituvaksi funktioksi jossakin kompleksitason alueessa. Holomorfisen funktion arvojoukko on myös kompleksitasossa. Tarkastellaanpa.

    Kompleksitason luku z määritellään:

    z=x+iyz=x+iy

    Kompleksitasolla siis x on x-akselin koordinaatti, ja y on pystysuoran imaginääriakselin koordinaatti. Yksinkertainen olio kompleksitasolla on yksikköympyrä. Sen määrittää parametrisaatio:

    eiθ.e^{i\theta}.

    Nyt on helppoa nähdä Eulerin kaavan merkitys:

    eiπ+1=0.e^{i\pi}+1=0.

    Eli yksikköympyrän länsireunassa ympyrän koordinaatti kompleksitasossa on -1 (pii-kulma on 180 astetta kiertoa vastapäivään, kun aloitamme laskennan koordinaatista 1).

    Jos merkitsemme holomorfista funktiota

    f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)

    Derivoituvuusehto erotusosamäärällä on ankara: voimme ottaa raja-arvon imaginääriakselia pitkin ja sen täytyy olla sama kuin reaaliakselia pitkin otettu raja-arvo, tästä saamme niin kutsutut Cauchy-Riemann -ehdot (alaindeksit ovat osittaisderivaattoja):

    ux=vyu_x=v_y
    uy=−vxu_y=-v_x

    Holomorfisuudesta seuraa, että itse asiassa sekä u että v ovat harmonisia funktioita, ja toteuttavat kumpainenkin erikseen Laplacen yhtälön.

    Holomorfiset funktiot ovat jossakin mielessä siis erittäin säännöllisiä. Niiden rakenne lokaalisti predestinoi globaalin käyttäytymisen.

    Seuraava tulos on keskeinen. Cauchyn integraalilause.

    Holomorfisen funktion suljettu käyräintegraali alueessa, jossa f on holomorfinen, on nolla. Eli symbolisesti:

    ∮Cf(z)dz=0.\oint_Cf(z)dz=0.

    Lauseen vastine on vektorianalyysissä gradienttikentän käyräintegraali. Konservatiivisen kentän tekemä työ suljetun silmukan yli on nolla.

    Vielä maagisempi on Cauchyn integraalikaava. Se sanoo, että holomorfisen funktion arvo jossakin pisteessä kiekossa saadaan integroimalla funktio kompleksitason kiekon reunan yli, eli:

    f(z)=12πi∫∂Df(ξ)ξ−zdξ.f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial D}\frac{f(\xi)}{\xi-z}d\xi.

    Kyseesä on eräänlainen väliarvolause, joka liittyy siihen, että holomorfisen funktion reaaliosa ja imaginääriosa ovat kumpikin harmonisia funktioita. Kuvittele kiertäväsi metsän reuna, ja pelkästään näkemällä puuston reunalla pystyt tietämään,millainen puusto on metsän keskellä! Fantastisen kaunis matemaattinen lause.

    Holomorfisille funktioille voidaan antaa myös potenssisarjaesitys, jota kutsutaan Laurent’n sarjaksi, eli

    f(z)=∑−∞∞an(z−z0)nf(z)=\sum_{-\infty}^{\infty}a_n(z-z_0)^n

    Laurent’n sarja on kurantti holomorfisille funktioille jossakin renkaassa. Integroimalla vastapäivään renkaan sisällä umpinaista polkua puolittain, saamme Residylauseen:

    ∮cf(z)dz=a−12πi\oint_c f(z)dz=a_{-1}2\pi i

    Kaikki muut termit integroituvat nollaan, paitsi termi

    a−1z−z0\frac{a_{-1}}{z-z_0}

    Tämä on veikeä. Kyseessä on kompleksisen logaritmin ominaisuus. Residylausetta voidaan soveltaa integroinnissa.

    Meromorfiset funktiot ovat sellaisia holomorfisia funktioita, joilla on napoja. Esimerkiksi voimme tutkia funktiota:

    f(z)=1z2+1f(z)=\frac{1}{z^2+1}

    Navat ovat selvästi -i ja i. Integroimalla puoliympyrällä, voidaan esimerkiksi epäoleellinen integraali laskea:

    ∫−∞∞1x2+1dx=π.\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x^2+1}dx=\pi.

    Tämä on selkeä esimerkki residylauseen voimasta.

    Suomalaisintellektuelli Rolf Nevanlinna (1895-1980)tutki juuri meromorfisten funktioiden arvojenjakautumisteoriaa. Olli Lehto on kirjoittanut hyvän elämäkerran Rolf Nevanlinnasta : Korkeat maailmat – Rolf Nevanlinnan elämä (Otava 2001).

    Suomalaiset ovat kunnostautuneet funktioteoriassa. Mielenkiintoinen sattumus muuten, että ranskalainen matemaatikko Andre Weil oli talvisodan alkupäivinä Nevanlinnan vieraana Suomessa, kun VALPO pidätti hänet vakoilusta epäiltynä. Andre Weilin tunnettu sisko Simone Weil oli filosofi ja mystikko. Suomeksi Simone Weililta on ilmestynyt ainakin Painovoima ja Armo, jossa Weil avaa kristillistä mystiikkaansa. Weil oli etnisesti juutalainen, mutta koki mystisen kokemuksen Fransiskus Assisialaisen rukouskappelissa, ja kääntyi efektiivisesti kristityksi.

    Simone Weilin kiinnostus filosofiaan ja mystiikkaan ei ole yllättävää, sillä veljensä Andre oli algebrallisen geometrian alalla kunnostautunut, lahjakkuus kulkenee suvussa.